Matematyka.pl

a) \(\displaystyle{ \int \frac{2x^{2} + x + 2}{x^{2} + 1} dx}\)
b) \(\displaystyle{ \int (x^{2} + x + 1) \sin x dx}\)

Całe wyrażenie w klamrach \(\displaystyle{
Szemek}\)

a)
\(\displaystyle{ \int \frac{2x^{2} + x + 2}{x^{2} + 1} dx = t \frac{2(x^2+1)+x}{x^2+1}dx = t 2dx+\int \frac{x}{x^2+1}dx = 2x + t \frac{\frac{1}{2}(x^2+1)'}{x^2+1} = \\ = 2x + \frac{1}{2}\ln|x^2+1|+C}\)

[ Dodano: 23 Czerwca 2008, 09:51 ]
b)
\(\displaystyle{ \int (x^{2} + x + 1) \sin x dx = ft|\begin{array}{ll}
u=x^2+x+1 & dv=\sin x dx \\
du=2x+1 & v=-\cos x
\end{array}\right| = \\ = -(x^2+x+1)\cos x + t (2x+1)\cos xdx = ft|\begin{array}{ll}
u=2x+1 & dv=\cos x dx\\
du=2dx & v=\sin x
\end{array}\right| = -(x^2+x+1)\cos x + (2x+1)\sin x - 2\int \sin x dx = \\ = -(x^2+x+1)\cos x + (2x+1)\sin x + 2\cos x+C = \\ = (-x^2-x+1)\cos x + (2x+1)\sin x+C}\)

Szemek pisze:a)
\(\displaystyle{ \frac {1}{2}(x^2+1)'}\)
b)
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ll}
u=x^2+x+1 & dv=\sin x dx \\
du=2x+1 & v=-\cos x
\end{array}\right|}\)

bylbym bardzo wdzieczny za wyjasnienie tylko dwoch rzaczy, ktore maja zapewne ze soba cos wspolnego.
a) jak to Pan zrobil ze z x-a wyszlo to co w cytacie.
b) jak to Pan zrobil ze z u wyszlo du (jak wyszlo v z dv to wiem z tablic)

bede bardzo wdzieczny.
w liceum mialem kiepska matematyke, zas na studiach informatycznych facet wogole nie umie przekazac wiedzy co widac po tym ze wiekszosc osob nie umie liczyc tych calek.
niestety na rozkminianie tego i czytanie ksiazek ktore sypia dziwnymi oznaczeniami nie mam czasu ze wzgledu na prace.

W a) chodzi o to, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(x^2+1)'=\frac{1}{2}\cdot 2x=x}\), czyli to, co w liczniku.
Jeśli chodzi o b), to nie bardzo rozumiem, o co chodzi. Jeśli chodzi o samo obliczenie pochodnej, to ze wzorów - \(\displaystyle{ \left(x^{\alpha}\right)'=\alpha x^{\alpha -1}}\)
\(\displaystyle{ (x^2)'=2x\\
(x)'=1\\
(1)'=0\\}\)
Po dodaniu wychodzi \(\displaystyle{ 2x+1}\)
Pozdrawiam i przepraszam, jeśli źle zrozumiałem pytanie.

losiu99 pisze:a) \(\displaystyle{ (x^2+1)'}\)
b) \(\displaystyle{ \left(x^{\alpha}\right)'=\alpha x^{\alpha -1}}\)

a) z jakiego wzoru Ci wyszlo ze 2x jest rowne temu co w cytacie?
b) wyglada na trafne spostrzezenie, ale pierwsza pozycja z alfa chyba mi nie jest potrzebna?

Jak nie rozumiesz podstaw, to zrob ta calke podstawieniem:
\(\displaystyle{ \mathcal{I}=\int \frac{x}{x^2+1}\mbox{d}x\\
x^2+1=t\\
2x\mbox{d}x=\mbox{d}t\\
x\mbox{d}x=\frac{1}{2}\mbox{d}t\\
\mathcal{I}=\frac{1}{2}\int \frac{\mbox{d}t}{t}=\frac{1}{2}\ln |t|+C=\frac{1}{2}\ln |x^2+1|+C}\)

POZDRO

pita4 pisze:

losiu99 pisze:a) \(\displaystyle{ (x^2+1)'}\)
b) \(\displaystyle{ \left(x^{\alpha}\right)'=\alpha x^{\alpha -1}}\)

a) z jakiego wzoru Ci wyszlo ze 2x jest rowne temu co w cytacie?
b) wyglada na trafne spostrzezenie, ale pierwsza pozycja z alfa chyba mi nie jest potrzebna?

Hmmm... W jakim cytacie? Ja może już jestem przemęczony tą sesją ale czy mi się zdaje czy kolega myli znak pochodnej z cytatem Jeśli tak to proponuję zrobić najpierw sobie powtórzenie z pochodnych a dopiero potem brać się za całki a nie odwrotnie bo to nie ma najmniejszego sensu.

Johan pisze: Hmmm... W jakim cytacie? Ja może już jestem przemęczony tą sesją ale czy mi się zdaje czy kolega myli znak pochodnej z cytatem Jeśli tak to proponuję zrobić najpierw sobie powtórzenie z pochodnych a dopiero potem brać się za całki a nie odwrotnie bo to nie ma najmniejszego sensu.

hmmm... jestes trollem? czepiasz sie glupot.
kazdy wie co ma sie na mysli jako cytat;)

Pierwsza pozycja z alfą to po prostu ogólny wzór na pochodną funkcji potęgowej. Właśnie z niego wyszło mi, że \(\displaystyle{ (x^2+1)'=2x}\). Pochodna \(\displaystyle{ x^2}\) z tego wzoru, a pochodna 1 to 0. Obawiam się, że jednak ten wzór może być Tobie potrzebny.
Pozdrawiam.