Matematyka.pl

Bardzo bym prosił o napisanie dowodu Twierdzenia o granicy iloczynu, najlepiej z komentarzami bo jakoś sam nie mogę wpaść, a to co na ten temat pisze Sierpiński w swojej książce do mnie nie trafia (tzn. nie rozumiem skąd, co i po co ), Tw. o sumie granic to jeszcze "mało wiele" wiem jak dowodzić, ale o iloczynie to już problem z góry dzięki

\(\displaystyle{ a_n a \ \ \ b_n b \\
|a_n b_n - ab| = | (a_n - a) b_n + (b_n - b)a| qslant |a_n - a|\cdot |b_n| + |b_n - b| |a|}\)
Od pewnego momentu zachodzi na przykład:
\(\displaystyle{ b_n qslant |b+\frac{1}{2}|}\)
Oczywiście widać dwa moduły zbiegające do zera, mnożone są przez rzeczy ograniczone, zatem to wyrażenie może być dowolnie bliskie zera. Jeśli jeszcze nie widać, to pisz.

Ok, już widzę od drugiej strony podejście, ale w porządku bo u Sierpińskiego to było wyjście od tego, że \(\displaystyle{ \left|a_{n} - a \right| < \epsilon_{1} ft|b_{n} - b \right| < \epsilon_{2}}\) i od tego dochodził do granicy iloczynu, ale to było dość zawzięte jeszcze raz dzięki