Sprawdzić, że Zxy=Zyx
: 21 cze 2008, o 18:45
Prosił bym o sprawdzenie tego zadania
Sprawdzić, że \(\displaystyle{ z_{xy}=z_{yx}}\), jeśli \(\displaystyle{ z=arctg\frac{y}{x}, dla x\neq0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ f }{ x }=-\frac{1}{1+y}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ f }{ y }=\frac{1}{1+y^2}}\)
dalej liczę
\(\displaystyle{ \frac{ f }{ x }(0,0)= \lim_{h \to 0 }\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ f }{ y }(0,0)= \lim_{h \to 0 }\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=0}\)
następnie
\(\displaystyle{ \frac{ ^2 f }{ x\partial y }(0,0)= \lim_{h \to 0 }\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(0,h)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{h}= -\infty}\)
\(\displaystyle{ \frac{ ^2f }{ y\partial x }(0,0)= \lim_{h \to 0 }\frac{\frac{\partial f} {\partial y}(h,0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{h}=\infty}\)
i z tego mi wychodzi, że \(\displaystyle{ z_{xy}\neq z_{yx}}\)
więc gdzie wkradł się błąd, o ile się wkradł.
Sprawdzić, że \(\displaystyle{ z_{xy}=z_{yx}}\), jeśli \(\displaystyle{ z=arctg\frac{y}{x}, dla x\neq0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ f }{ x }=-\frac{1}{1+y}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ f }{ y }=\frac{1}{1+y^2}}\)
dalej liczę
\(\displaystyle{ \frac{ f }{ x }(0,0)= \lim_{h \to 0 }\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ f }{ y }(0,0)= \lim_{h \to 0 }\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=0}\)
następnie
\(\displaystyle{ \frac{ ^2 f }{ x\partial y }(0,0)= \lim_{h \to 0 }\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(0,h)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{h}= -\infty}\)
\(\displaystyle{ \frac{ ^2f }{ y\partial x }(0,0)= \lim_{h \to 0 }\frac{\frac{\partial f} {\partial y}(h,0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{h}=\infty}\)
i z tego mi wychodzi, że \(\displaystyle{ z_{xy}\neq z_{yx}}\)
więc gdzie wkradł się błąd, o ile się wkradł.