Matematyka.pl

Witam, czy moglby mi ktos pomoc w rozwiazaniu tej calki, bo nie wime nawet jak sie do tego zabrac.

\(\displaystyle{ \iiint_Vxyzdxdydz}\)
gdzie \(\displaystyle{ V={(z,y,z):\sqrt{x^2+y^2} qslant z qslant \sqrt{1-x^2-y^2}}}\)

dziekuuje z gory i pozdrawiam
Antek

Narysuj sobie. Zauważ, że powierzchnie ograniczające to stożek i pół sfery. Warto przejść na współrzędne cylindryczne:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = r cos\phi \\ y = rsin\phi \\ z = z \\ |J| = r \end{cases}}\)
Warto policzyć, dla jakiego z te powierzchnie się przecinają. Możemy wtedy opisać obszar:
\(\displaystyle{ \begin{cases} r \\ \phi \\ z \end{cases}}\)
Zatem całka będzie równa:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} sin\phi cos\phi d\phi t_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} r^3 dr t_{r}^{\sqrt{1-r^2}} z dz}\)
Jako że nie mam wielkiego doświadczenia w liczeniu całek potrójnych to proszę o potwierdzenie.

jezeli dobrze wyliczony r to jest dobrze

Zamiast liczyc paskudztwa, mozna zauwazyc ze jezeli zamienimy y na -y to wartosc calki zostamie ta sama...