Matematyka.pl

załóżmy takie zadanie:

Funkcja \(\displaystyle{ F(x,y)=x^2+2xy+y^3}\) w punkcie (3,3) ma:
a)nie ma ekstremum lokalnego
b)ma minimum lokalne
c)ma maksimum lokalne

no i teraz ja takie zadanie rozwiązuje następująco:
1)obliczam pochodną po dx i dy;
2) pochodne przyrownuje do 0 i wyliczam x oraz y;
3) wyznaczam pochodne po \(\displaystyle{ dx^2, dy^2, dxdy, dydx}\)
4) obliczam hesjan i tam z definicji sobie patrze co wychodzi;

ale czy da sie to jakoś szybciej sprawdzić? bo tą metodą liczę jakby ten punkt...a ja go już mam w treści zadania i chciałbym tylko sprawdzić czy to pójdzie...
podsuńcie coś


czy znacie jakieś szybsze sposoby liczenia ekstremów funkcji ?

Prościej jest policzyć pochodne cząstkowe w punkcie. Zwyczajnie jeśli nie wychodzą zero można odpuścić dalsze liczenie. W tym przypadku mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) = 2x+2y \\
\frac{\partial F}{\partial x}(3,3) = 12 0}\)

no dobra, wiem ze nie jest rowne 0, wiec to znaczy ze w tym punkcie jest czy nie ma ekstremum? i jesli ma tam ekstremum to jak sie dowiedziec czy minimum czy maximum? po dodatności i ujemności wyniku?

Nie ma. Przyrównując pochodne cząstkowe do zera znajdujesz punkty stacjonarne gdzie ekstremum się może znajdować (ale nie musi) w innych punktach ekstremów nie ma.