Matematyka.pl

zadanie 1.
Udowodnij ze........ \(\displaystyle{ 1^2+2^2+3^2+\ldots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)

Zadanie 2.
Udowodnij ze..........
\(\displaystyle{ 1^2+3^2+5^2+\ldots +n^2=\frac{1}{6}\cdot n(n+1)(2n+1)}\)

Zadanie 3.
Udowodnij ze dla kazdej liczby naturalnej n liczba \(\displaystyle{ 10^n-4}\) jest podzielna przez 6

ad.1
dla n=1 rownosc zachodzi
Z: n=k
\(\displaystyle{ 1^2+2^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}\)
T: n=k+1
\(\displaystyle{ 1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}\)
\(\displaystyle{ L=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+k^2+2k+1=\frac{2k^3+3k^2+k+6k^2+12k+6}{6}=\frac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}=P}\)

kuch2r, nie żebym się czepiała, ale zdradź mi tajemnicę, jak w jednym kroku z \(\displaystyle{ 2k^3+9k^2+13k+9}\) dostać ostateczną postać licznika?

hmm po pierwsze nie ma tam zadnego \(\displaystyle{ 2k^3+9k^2+13+9}\) tylko \(\displaystyle{ 2k^3+9k^2+13+6}\) :]
to moze inaczej
\(\displaystyle{ L=\frac{2k+3+9k^2+13+6}{6}}\)
mam nadzieje ze to jest zrozumiałem, a teraz wezmy sobie policzmy prawa strone :]
\(\displaystyle{ P=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}\)
po wymnozeniu otrzymamy :]
\(\displaystyle{ P=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}}\)
dalej sobie mnozymy nawiasy :]
\(\displaystyle{ P=\frac{2k^3+7k^2+6k+2k^2+7k+6}{6}}\)
a z tym juz chyba nie ma problemu :]
\(\displaystyle{ P=\frac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}}\)
a to jak widac rowna sie stronie lewej :] inaczej \(\displaystyle{ L=P}\)

jeżeli chodzi o licznik to skorzystaj z Hornera

Tak myślałam, ja czytam od lewej do prawej i dlatego tak się zastanawiałam skąd to się wzięło. Taka mała rada, dla większej czytelności gdybyś rozwązywał równolegle lewą stronę i prawą, to chyba logiczniej by było. Ale to tylko taka malutka sugestia

Ad. zad.3 tutaj znajduje się analogiczny przykład https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2970

kazdy ma swoje "zboczenia"

[ Dodano: Sob Paź 15, 2005 10:02 am ]
ad.3
\(\displaystyle{ 6|10^n-4}\)
Sprawdzamy dla n=1
6|6 co jest prawda

Z: \(\displaystyle{ 10^k-4=6a\\10^k=6a+4}\) gdzie \(\displaystyle{ a N}\)
T: \(\displaystyle{ 10^{k+1}-4=6b}\) gdzie \(\displaystyle{ b N}\)
Dowod:
\(\displaystyle{ L=10^{k+1}-4=6b=10^k\cdot 10-4=6b=[Z]=(6a+4)\cdot 10 -4=60a+36=6(10a+6)=6b=P}\)