Matematyka.pl

Czy ktoś potrafi to udowodnić?
\(\displaystyle{ a^n-b^n=(a-b) (a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+.......+ab^{n-2}+b^{n-1})}\)
Kurde jutro mam z tego sprawdzian.pleas!

[edit] Poprawiam zapis matematyczny na TeX. Zapoznaj się z tym zapisem, inaczej w przyszłości podobne zapisy pójdą do bloku.

\(\displaystyle{ a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})}\)
dowód indukcyjny:
1. n=1
zauważmy, że w \(\displaystyle{ (a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})}\) jest n elemenów, a więc dla n=1 będzie to jeden element \(\displaystyle{ a^{0}b^{0}}\) a więc:
\(\displaystyle{ a-b=(a-b)(a^{0}b^{0})=a-b}\)
2.
zał. \(\displaystyle{ a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})}\)
teza: \(\displaystyle{ a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)(a^{n}+a^{n-1}b+...+ab^{n-1}+b^{n})}\)
dowód: \(\displaystyle{ a^{n+1}-b^{n+1}=a^{n+1}-bb^{n}}\)
z zał. indukcyjnego:
\(\displaystyle{ -b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})-a^{n}}\)
podstawiamy:
\(\displaystyle{ a^{n+1}-bb^{n}= a^{n+1}+b((a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})-a^{n}) =}\)
\(\displaystyle{ = a^{n+1}+((a-b)(a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+...+ab^{n-1}+b^{n})-ba^{n}) =}\)
\(\displaystyle{ = a^{n}(a-b)+(a-b)(a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+...+ab^{n-1}+b^{n}) =}\)
\(\displaystyle{ =(a-b)(a^{n}+a^{n-1}b+...+ab^{n-1}+b^{n})}\)

co konczy dowód •