Matematyka.pl

Mamy obliczyć \(\displaystyle{ \int t\limits_{V} t (x^{2} + y^{2} + z^{2})dV}\), gdzie \(\displaystyle{ V: 3(x^{2} + y^{2}) + z^{2} qslant 12}\).
Ten obszar przestrzeni jest elipsoidą: \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{4} + \frac{y ^{2} }{4} + \frac{z ^{2} }{12} qslant 1}\). Stąd: \(\displaystyle{ x_{0}, y_{0} = 2, z_{0} = 2 \sqrt{3}}\)
Czy dla danej elipsoidy mogę współrzędne sferyczne przyjąć w poniższy sposób???:
\(\displaystyle{ x=2rcos\phi cos\theta\\y=2rcos\phi sin\theta\\z=2 \sqrt{3} rsin\phi\\ \\
J=8 \sqrt{3} r ^{2} cos\phi\\ \\ \phi \\ \theta \\ r }\)

Jak dla mnie to powinno byc sparametryzowane podobnie jak sfera, tj:
\(\displaystyle{ b\begin{cases}
x=2\rho\cos\theta\cos\varphi\\
y=2\rho\cos\theta\sin\varphi\\
z=2\sqrt{3}\rho\sin\theta\end{cases}\\
|J|=-8\sqrt{3}\rho^2\cos\theta\\
\rho\in[0;1]\\
\varphi\in[0;2\pi]\\
\theta\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]}\)

POZDRO

gdy odpowiadałeś widoczna była chyba jeszcze zła wersja posta - poprawiłem i teraz figuruje to, co miałem na myśli - widzę, że raczej się zgadzamy, dlaczego jednak \(\displaystyle{ r }\), tzn u Ciebie \(\displaystyle{ \rho}\)

[ Dodano: 14 Czerwca 2008, 22:50 ]
myślę, że masz rację z przedziałem \(\displaystyle{ \rho}\)
dzięki, pozdrawiam!

No to po pierwsze, blad w znaku jakobianu
Po drugie zle wyznaczone granice katow - popatrz na moja parametryzacje.

A co do zakresu zmian kata \(\displaystyle{ \rho}\), to jest ok.
Jak nie wierzysz, mozesz dwa razy sparametryzowac, najpierw podstaw:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=2u\\
y=2v\\
z=2\sqrt{3}w\end{cases}\\
|J|=8\sqrt{3}\\
u^2+v^2+w^2\leqslant 1}\)

I to jest juz zwykla sfera o srodku (0,0,0) i promieniu 1. Teraz parametryzujesz zmienne u,v,w jak zwykla sfere, co ci daje zakres zmian kata taki jak podalem. Poza jakobianem sie wiec nic nie zmienia POZDRO

"No to po pierwsze, blad w znaku jakobianu"
ok ok, a Twój jakobian (ten poierwszy) nie ma \(\displaystyle{ \rho ^{2}}\), mając za to jednocześnie moduł i minusa
"Po drugie zle wyznaczone granice katow - popatrz na moja parametryzacje."
'granice' raczej są ok, albo czegoś nie dostrzegam...

dla mnie już wsko jasne, prześledziłem też tokiem, który zaproponowałeś
dzieki!

No rzeczywiscie jakims cudem nie zapisalem w moim jakobianie \(\displaystyle{ \rho^2}\). Teraz twoje granice sa juz ok POZDRO