Całka, pierwiastek, tangens.

[skowron]

Mam problem z taką całką:

\(\displaystyle{ \int \sqrt{tg(x)} dx}\)


Wielkie dzięki za jakiekolwiek podpowiedzi.


Pozdrawiam

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ t= tg(\frac{x}{2})}\), \(\displaystyle{ dx= \frac{2dt }{1+t^2}}\)
\(\displaystyle{ tgx= \frac{2t}{1-t^2}}\) . etc

[meninio]

To jest oczywiste to podstawienie...Pytanie co dalej z takim czymś: \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}\int_{}^{} \frac{\sqrt{t}}{(1+t^2) \sqrt{1-t^2}}dt}\)

[skowron]

Mógł bym Cię prosić abyś mi rozpisał jak doszedłeś do tego dx?

[meninio]

\(\displaystyle{ \tan \frac{x}{2}=t \\ \\ \frac{x}{2}= \arctan(t) \\ \\ x=2 \arctan(t) \\ \\dx=\frac{2}{1+t^2}dt}\)

[ Dodano: 12 Czerwca 2008, 00:12 ]
Wpadłem teraz na lepszy pomysł (tak mi sie wydaje odnośnie tej całki). Zróbmy nastepujące podstawienie:
\(\displaystyle{ \tan(x)=t^2 x= \arctan(t^2) dx=\frac{2t}{1+t^4}dt}\)

Podstawiamy:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{t^2}\frac{2t}{1+t^4}dt=2 \frac{t^2}{t^4+1}dt=...}\)

I dalej muszę się zastanowić. Wydaje mi się, że jest to lepsza droga niż ta standardowa.

[skowron]

Wydaje mi się że źle wyznaczyliście tg(x)
nie powinno być tak:

\(\displaystyle{ tg(x) = \frac{2t}{1+t^{2}}}\) Wtedy ładnie wychodzi takie coś:

\(\displaystyle{ 2\sqrt{1+tg^{2}(\frac{x}{2})}}\)


edit:

\(\displaystyle{ tg(x) = \frac{2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})}{cos^{2}(\frac{x}{2})+sin^{2}(\frac{x}{2})} = \frac{2t}{1+t^{2}}}\)

[meninio]

Na pewno nie. Ten wzór co ty napisałeś sto to jest na sin(x) na bank!!

[skowron]

Masz racje pomylił mi sie wzór... ale i tak było to źle rozwiązanie...