Matematyka.pl

Oto zadania z którymi mam problem:

1) \(\displaystyle{ 1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2}\) - dowieśc indukcyjnie
2) \(\displaystyle{ 3^{4n+2} + 1}\) jest liczbą podzielną przez 10
Proszę o pomoc w rozwiązaniu

Przepraszam za zapis ale nie mam Tex'a jeszcze

Co do drugiego, to na pewno nie jest to prawda, ponieważ już przy pierwszym kroku indukcyjnym widzimy, że dla n=1, liczba ta nie jest podzielna przez 10. ( chyba, że źle coś jest napisane)

No, teraz to co innego:)

1. n=1

\(\displaystyle{ 3^{4+2} +1=730}\), a to jest podzielne przez 10:)

2. zał.ind: \(\displaystyle{ 3^{4k+2}+1=10s, s\in N}\)
teza ind: \(\displaystyle{ 3^{4(k+1)+2}+1=10p, p\in C}\)
d-d ind:

\(\displaystyle{ 3^{4k+6}+1=3^4 3^{4k+2}+1= 80\cdot 3^{4k+2} + 3^{4k+2} +1= 10( 8\cdot 3^{4k+2}+ s)=10p}\)

3. Na mocy...

2)

\(\displaystyle{ 3^{4n+2}+1}\) ma byc podzielne przez 10 dla \(\displaystyle{ \overline{abc} => c=0}\)wynika to z cechy podzielnosci przez 10
\(\displaystyle{ 3^{4n+2} => \overline{abc} =>c=9}\)
Wielokrotnosc 3 musi miec cyfre jednosci 9 a wiec zaleznosc jest spełniona dla
\(\displaystyle{ 3^{2} ,3^{6}, 3^{10}}\)
a wiec \(\displaystyle{ 4n+2}\)bedzie tworzyc potegi: 2,6,10...
n musi byc liczba calkowita!

1) Skorzystamy z ogólnie znanego faktu: \(\displaystyle{ 1+2+\ldots +n=\frac{n(n+1)}{2}}\). Można go również udowodnić indukcyjnie:)


Sprawdź sobie jakieśtam małe przypadki, załóżmy, że teza zachodzi dla pewnego \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\).

\(\displaystyle{ 1^3+2^3+\ldots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}}\).

Dodając stronami \(\displaystyle{ (k+1)^3}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 1^3+\ldots (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}}\), co kończy dowód.

2) Sprawdzasz mały przypadek sobie.

Załóżmy, że:

\(\displaystyle{ 3^{4k+2}\equiv -1 od{10}}\). Mnożąc przez \(\displaystyle{ 3^4}\) stronami, dostajemy:

\(\displaystyle{ 3^{4(k+1)+2}\equiv -81\equiv -1 od {10}}\), co kończy dowód.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

aha hehe

[ Dodano: Sro Paź 12, 2005 12:10 am ]
Tristan skąd w dowodzie wzieło się potem drugi raz 3^4k+2 ??