Matematyka.pl

Męczę się już z tym zadaniem kilka godzin. Może ktoś powie mi, jak to rozwiązać:
Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^2+2y^2}\)
\(\displaystyle{ g(x,y)=4y-x^2}\)

Ja bym sprobowal robic to mniej wiecej tak:
Szkicujemy rysunek. f(x,y) to taka odwrocona kopula ze srodkiem w (0,0,0) i przekrojem elipsy. g(x,y), to taka powielona parabola z ramionami skierowanymi w kierunku rosnacym osi OY i poczatkiem zaleznym od punktu z, tj: \(\displaystyle{ y=\frac{4}{z}}\). Z tego wynika, ze bryla jest ograniczona z gory wlasnie przez ta bryle, a z dolu przez nasza kopule. Trzeba jeszcze znalezc powierzchnie do calkowania:
\(\displaystyle{ x^2+2y^2=4y-x^2\\
x^2+(y-1)^2=1\\
x^2+(y-1)^2\leqslant 1\\}\)

Teraz wprowadzamy wspolrzedne cylindryczne:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\rho\cos\varphi\\y=\rho\sin\varphi\\z=z\end{cases}\\
|J|=\rho\\
x^2+y^2\leqslant 2y\\
\rho^2\leqslant 2\rho\sin\varphi\\
\rho\leqslant 2\sin\varphi\\
\varphi\in[0;2\pi]\\
|V|=\int\limits_{0}^{2\pi}\mbox{d}\varphi t\limits_{0}^{2\sin\varphi}\rho\mbox{d}\rho t\limits_{(x=\rho\cos\varphi)^2+ 2(\rho\sin\varphi)^2}^{4(\rho\sin\varphi)-(\rho\cos\varphi)^2}\mbox{d}z=\ldots}\)

POZDRO