Matematyka.pl

1) Niech X, \ a_0 P[/latex]. Kiedy \(\displaystyle{ a_0}\) jest najmniejszym elementem w P? Ile najmniejszych elementów może być w P?

2) Niech \(\displaystyle{ S N, \ P(S) \ - \ moc \ zbioru \ S}\). Udowodnij, że relacja \(\displaystyle{ R P(S)^2 \ \ : \forall A,B P(S) \ \ ARB A \ B}\) jest relacją porządku. Jest to relacja częściowego czy liniowego porządku? Uzasadnij swoją odpowiedź.

pozdro:)!

1)
Element najmniejszy to taki, który jest mniejszy od wszystkich pozostałych. W każdym zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje co najwyżej jeden taki element.

2)
\(\displaystyle{ P(S)}\) to nie żadna moc, tylko zbiór podzbiorów \(\displaystyle{ S}\). Żeby sprawdzić, że relacja zawierania jest relacją częściowego porządku, należy sprawdzić, że jest to relacja zwrotna, antysymetryczna i przechodnia - wszystkie trzy warunki sprawdza się trywialnie. Natomiast na ogół nie jest to liniowy porządek - jeśli \(\displaystyle{ S}\) ma przynajmniej trzy elementy \(\displaystyle{ a,b,c}\), to zbiory \(\displaystyle{ \{a,b\}}\) i \(\displaystyle{ \{b,c\}}\) są nieporównywalne w tej relacji, więc nie jest ona spójna.

Q.