Matematyka.pl

nie umie sobie poradzic z 2 zadaniami
1. Pokazać że dla n ≥ 5 zachodzi 2^n>n �
2. Udowodnić że dowolną kwotę pieniędzy złożoną z n zł takiego że n ≥ 4 można wypłacić po 2 zł i 5 zł

Byłabym wdzięczna gdyby ktoś pomógł mi to rozwiązać. Potrzebuje to na dzisiaj!!
Z góry serdecznie dziękuje za pomoc

1)

Sprawdźmy \(\displaystyle{ n=5}\).

\(\displaystyle{ 2^5=32>5^2=25}\).


Przypuśćmy, że nierówność jest prawdziwa dla pewnego \(\displaystyle{ k>5}\), tzn. \(\displaystyle{ 2^k>k^2}\).

Wtedy:

\(\displaystyle{ 2^{k+1}>k^2\cdot 2 > (k+1)^2}\), co kończy dowód.

Można zapisać tę nierówność w ogólniejszej formie:

\(\displaystyle{ a^n>n^a}\), gdzie \(\displaystyle{ a>1}\), a \(\displaystyle{ n>a^2}\), dowód również przez indukcję.


2) Jeśli n jest parzyste - nie ma czego dowodzić - można tę sumę wypłacić w samych 2zł. Jeśli n jest wielokrotnością 5zł, też nie ma czego dowodzić.

Przeto załóżmy, że \(\displaystyle{ n\neq 2k\wedge n\neq 5l}\).

Załóżmy, że można wypłacić w ten sposób n złotych. Wśród bilonu pojawi się co najmniej jedna 5zł & 2zł. 'Cofając' 5zł i dokładając 3 dwuzłotówki dostaniemy n+1 złotych, co kończy dowód.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki