Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int \frac{lnx}{x^3} dx}\)

Takie podstawienie jest dobre??
\(\displaystyle{ f(x)=x^3 , f\prime(x)=3x^2,g\prime(x)=lnx,g(x)= \frac{1}{x}}\)

ewidentnie nie, bo jak \(\displaystyle{ g'=lnx}\) to \(\displaystyle{ g=\int lnx=x(lnx-1)}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\)

Jest jakaś zasada przy podstawianiu ;/ bo ja tego nie rozumiem

Poza tym, jeśli całkujesz przez część to funkcja podcałkowa ma być równa iloczynowi tych dwóch funkcji na które ją rozbijasz, podczas gdy twoje podstawienie wymagałoby podzielenia funkcji-\(\displaystyle{ \frac{\ln x}{x^3}=\frac{g'(x)}{f(x)}}\). To właściwie jedyna zasada, w tej metodzie chodzi jednak o to, aby "ta druga" całka, która wyjdzie po zastosowaniu całkowania przez część, była łatwiejsza do obliczenia, niż ta z którą zaczynaliśmy. Np.
\(\displaystyle{ \mathcal{I}=\int x^2e^x\mbox dx}\)
\(\displaystyle{ e^x}\) zawsze pozostanie \(\displaystyle{ e^x}\), a \(\displaystyle{ x^2}\) można zredukować, dlatego też przyjmujemy:
\(\displaystyle{ \begin{array}{llll}u=x^2\qquad&&\mbox du=2x\mbox dx\\
\mbox dv=e^x\mbox dx&&v=e^x
\end{array}\\
\mathcal{I}=x^2e^x-2\int xe^x\mbox dx}\)
Tym sposobem otrzymaliśmy prostszą do scałkowania funkcję. W podobny sposób obliczamy całkę będącą efektem podstawienia:
\(\displaystyle{ \int xe^x\mbox dx=\left|\begin{array}{llll}
u=x\qquad&&\mbox du=\mbox dx\\
\mbox dv=\mbox e^x\mbox dx&&v=e^x
\end{array}\right|=xe^x-\int e^x\mbox dx=\\=xe^x-e^x+C=e^x\left(x-1\right)+C}\)

Dzięki całkowaniu przez część upraszczamy całkę, aż w końcu dochodzimy do postaci, w której można podać już wynik. Należy więc stosować takie podstawienia, aby uzyskać łatwiejsze całki.
Pozdrawiam.