Matematyka.pl

Zadanie brzmi:

Jaki warunek musi spełniać macierz A o elementach całkowitych, aby macierz do niej odwrotna posiadała elementy całkowite?

Dzięki.

Musi być: \(\displaystyle{ | \det A | = 1}\).

Wskazówka do udowodnienia konieczności warunku: \(\displaystyle{ \det A^{-1} = \frac{1}{\det A}}\)

Wskazówka do udowodnienia wystarczającości warunku: \(\displaystyle{ A^{-1} = \frac{A_{ij}^T}{\det A}}\)

Q.

Hej, dzięki za pomoc ale jak do tego doszedłeś?

Właściwie wszystko jest już napisane (albo co najmniej zasugerowane ), ale powtórzę: wychodzimy od równości \(\displaystyle{ \det A \det A^{-1} =1}\) i wnioskujemy z niej, że jeśli obie macierze mają mieć wyrazy całkowite, czyli także wyznaczniki całkowite, to te wyznaczniki muszą być równe oba jeden albo oba minus jeden. Stąd mamy konieczność warunku \(\displaystyle{ | \det A | =1}\). Natomiast korzystając ze wzoru na macierz odwrotną (tego przy użyciu dopełnień algebraicznych), łatwo pokazać, że ten warunek także wystarcza do tego, by macierz odwrotna miała wyrazy całkowite.

Q.

No najciekawsze jest dla mnie dlaczego wychodzimy od nierówności det A * det A ^-1 = 1 ???

Ponieważ to jest nasz pomysł na rozwiązanie zadania. Matematyka to nie tylko podstawianie do wzorów, to także, a raczej przede wszystkim twórcze myślenie.

Q.

Wyznacznik z iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników macierzy.
Pozdrawiam Q,

A, już rozumiem, problemem było nie to dlaczego korzystamy z tej równości, tylko to dlaczego ona jest prawdziwa. Cóż, myślałem, że takich rzeczy jeszcze uczą na studiach .

Q.

Liczę że to nie uszczypliwość tylko "oczko". W każdym razie dzięki, posuwam sie do przodu. Będę tu zaglądał.