Matematyka.pl

Udowodnij, że jeżeli R to promień okręgu opisanego na trójkącie, jego boki to a, b i c, oraz S to jego pole, to zachodzi równość:

S=abc/4R

-

[fade]GM 16 Szczecin.[/fade]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ a,b,c}\) boki trójkąta, przez \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) przeciwległe im kąty, \(\displaystyle{ S}\) - pole.

Wiemy, że \(\displaystyle{ S=\frac{ab}{2}\cdot \sin\gamma}\).

Z twierdzenia sinusów mamy:

\(\displaystyle{ \frac{c}{\sin\gamma}=2R}\), więc

\(\displaystyle{ \sin\gamma = \frac{c}{2R}}\), czyli

\(\displaystyle{ S=\frac{ab}{2}\sin\gamma = \frac{ab}{2}\cdot \frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}}\), co było do wykazania.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki