Matematyka.pl

doznałem chyba ostatnio zaćmienia muzgu i nie pamiętam jak się przeprowadza dowód indujcyjny dala tego typu nierówności:

2^n > 2n+1 , dla n>=3


z góry dzięki za pomoc.

1) Sprawdzamy, czy nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ n=3}\).

\(\displaystyle{ 2^3=8>6+1=7}\), więc zachodzi.

2) Zakładamy prawdziwość dla \(\displaystyle{ k}\), wykażemy, że wynika z niej prawdziwość dla \(\displaystyle{ k+1}\).

\(\displaystyle{ 2^k>2k+1}\).

Mnożąc obie strony przez 2 dostajemy:

\(\displaystyle{ 2^{k+1}>4k+1>2k+3=2(k+1)+1}\), a ostatnia nierówność zachodzi, bo \(\displaystyle{ 4k+1>2k+3}\), czyli równoważnie \(\displaystyle{ 2k-2>0}\), co oczywiście zachodzi dla \(\displaystyle{ k\geq 3}\).

Na mocy indukcji nierówność zachodzi \(\displaystyle{ \forall k\in\mathbb{N}}\).


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

ok ale ciągle nie rozumiem jak się pozbyłeś 2^k

swoją drogą jeżeli chcemy wykazać prawdziwość dla k+1 to z 2^k>2k+1 otrzymujemy:
2^k+1>2k+3 i jeżeli to wymnożymy obustronnie przez 2 to otrzymamy

2^k+2>4k+6

Jak już napisałem, mnoże stronami przez 2.

\(\displaystyle{ 2^k\cdot 2 > (2k+1)\cdot 2}\)
\(\displaystyle{ 2^{k+1}>4k+2}\)

Jeśli teraz pokażemy, że \(\displaystyle{ 4k+2>2(k+1)+1}\) dla \(\displaystyle{ k}\) spełniającego warunki zadania, to dowód będzie zakończony. To też wyżej napisałem


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

ok teraz wszystko jasne


ps:dzięki za cierpliwość

można tu także wykorzystać prawo przechodniości

a>b>c

skoro

Dowód: \(\displaystyle{ 2^{k+1}>4k+1>2k+3}\)

to

Wniosek: \(\displaystyle{ 2^{k+1}>2k+3}\)

moze cos namieszalem ale nas uczą w ten sposób udowadniać.