Matematyka.pl

Witam mam takie zadanko:

Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:

\(\displaystyle{ f(x) = \left{\begin{array}{l}C*sin x \ \ dla \ \ x\in(0,\frac{\Pi}{2})\\0 \ \ dla \ \ x\notin(0,\frac{\Pi}{2})\end{array}}\)

a) Wyznaczyc stałą C - to wiem - mi wyszło 1
b) Zależć dystrybuantę zmiennej losowej X - to wiem
c) obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(X>\frac{\Pi}{6})}\) - zrobiłem tak:
skozystałem z własnośći P(A) = 1 - P(A') czyli \(\displaystyle{ P(X>\frac{\Pi}{6}) = 1 - P(X\leq\frac{\Pi}{6}) = 1 - F(\frac{\Pi}{6}) = 1 - (-cos \frac{\Pi}/{6} + 1) = \frac{sqrt{3}}{2}}\)
d) Wyznaczyć wartośc oczekiwaną - to wiem
e) Wyznazcyć Medianę - TEGO NIE WEIM jak to się wogóle robi?????
f) Wariancję - zrobiłem tak:
D � X = EX � - (EX) � = \(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^2 sin xdx \ - \ (\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x sin xdx)^2 = \Pi - 1}\) - tyle mi wyszło ale w odpowiedzach jest: \(\displaystyle{ \frac{\Pi}{2}}\) - całki umiem rozwiązywać jeszcze sprawdzałem je licząc pochodną, w czym jest błąd a może w odpowiedzach jest źle?

wiem że Medianę robi się tak:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}P(X q x)\geq0,5\\P(X q x)\geq0,5\end{array}}\)
tylko jak to zastosować??

ja robiłem tak: \(\displaystyle{ P(X q x) = P(X q 0,5) = \int_{0,5}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx = \frac{\Pi}{3}}\)
i wyszło tak jak w odpowiedzach, ale czy to jes dobrzy sposób??

\(\displaystyle{ \int_{0,5}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx = cos(0.5)}\)
Cosinus z połowy radiana (nie radzę obliczać) - na pewno nie jest równy pi/3

Prawidłowo medianę: x = m, liczymy tak:

\(\displaystyle{ P(x \leq m) = \int_{0}^{m}\sin xdx = 0.5}\)

po scałkowaniu szukamy m:
\(\displaystyle{ -cos(x)|^m _0 = 0.5}\)
-cos(m) + cos(0) = 0.5 -> cos(m) = 0.5
Zatem:
\(\displaystyle{ m = arccos(0.5) = \pi/3}\)

Ok, dzięki, sporo mi to wyjaśniło. A liczyłeś może wariancję?? bo jakoś nie mogę się doliczyć tych \(\displaystyle{ \frac{\Pi}{2}}\)

Całki przy liczeniu wariancji wydają się prawidłowe
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi /2} x^2sinxdx=\pi -2}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi /2} xsinxdx=1}\)
\(\displaystyle{ D^2 X=\pi -3}\)