środkowe trójkąta
: 8 paź 2005, o 11:03
nic
Wiemy, że środkowe w trójkącie dzielą się w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\) (łatwo to wykazać). Niech więc środkowa opuszczona na bok \(\displaystyle{ a}\) ma długość \(\displaystyle{ 3x}\), a na bok \(\displaystyle{ b}\) \(\displaystyle{ 3y}\). Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy następujący układ:
\(\displaystyle{ \{x^2+4y^2=\frac{a^2}{4}\\4x^2+y^2=\frac{b^2}{4}}\).
\(\displaystyle{ \{4y^2=\frac{4a^2-b^2}{15}\\4x^2=\frac{4b^2-a^2}{15}}\).
Zastosujmy twietrdzenie Pitagorasa dla trójkąta, którego przeciwprostokątną jest szukany bok \(\displaystyle{ c}\):
\(\displaystyle{ 4x^2+4y^2=\frac{3a^2+3b^2}{15}=\frac{a^2+b^2}{5}=c^2}\), więc
\(\displaystyle{ c=\frac{\sqrt{5a^2+5b^2}}{5}}\).
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki