Witam,
Nie rozumiem jak rozwiązuje się równania Euelra, które jest chyba ulubionym pani dr, która kosi na równaniach różniczkowych. Dotychczas miałem na kolokwiach takie (i na jutrzejszym zbóju będę miał podobne):
1. \(\displaystyle{ x^{2} y''-2y=6 \frac{lnx}{x}}\)
2. \(\displaystyle{ x^{2} y''-2xy'+2y= x^{5}\ln x}\)
3. \(\displaystyle{ t^{2} y''+3ty'+2y=t^3}\)
Bardzo prosiłbym u ogólne/krok po korku/w miarę zrozumiałe przedstawienie rozwiązania chociażby jednego z wyżej wymienionych równań,
pozdrawiam,
z góry dzięki za pomoc
Równanie Eulera
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8297
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1814 razy
Równanie Eulera
Dla przykładu 1:
Rozwiążmy wpierw r. jednorodne:
\(\displaystyle{ x^2 y'' - 2y =0}\)
Jako rozwiązanie przewidujemy w postaci
\(\displaystyle{ y = x^r, \quad y' = r x^{r-1}, \quad y'' = r(r-1)x^{r-2}}\)
stąd równanie charakterystyczne postaci
\(\displaystyle{ r(r-1) - 2 = 0}\)
Pierwiastki tego równania to kolejno \(\displaystyle{ r_1 = -1,\;\;\;r_2 = 2}\).
Czyli całka r. jednorodnego ma postać \(\displaystyle{ y_1 = C_1 x^{-1} + C_2 x^2}\).
Aby znaleźć całkę r. niejednorodnego możemy posłużyć się metodą uzmienniania stałych. Mamy więc
\(\displaystyle{ y_1 = C_1 (x) x^{-1} + C_2 (x) x^2}\)
Muszą być spełnione warunki:
\(\displaystyle{ C_1'(x) x^{-1} + C_2 '(x) x^2 = 0\\
- C_1'(x) x^{-2} + 2 C_2'(x) x = 6 \frac{\ln x}{x^3}}\)
Dalej dzielimy pierwsze równanie obustronnie przez x i dodajemy do drugiego:
\(\displaystyle{ 3 C_2'(x) x = 6 \frac{\ln x}{x^3} \iff C_2 (x) = - \frac{2 (1 + 3 \ln |x|)}{9x^3}}\)
Podobnie wyznaczamy, iż \(\displaystyle{ C_1(x) = - \ln^2 |x|}\).
Mamy więc całkę szczególną \(\displaystyle{ y_2 = C_1 (x) x^{-1} + C_2 (x) x^2 = - \frac{2}{9x} - \frac{2 \ln |x| + 3 \ln^2 |x|}{3x}}\)
Ostatecznie więc:
\(\displaystyle{ y = y_1 + y_2 = C_1 x^{-1} + C_2 x^2 - \frac{2 \ln |x| + 3 \ln^2 |x|}{3x}}\)
Rozwiążmy wpierw r. jednorodne:
\(\displaystyle{ x^2 y'' - 2y =0}\)
Jako rozwiązanie przewidujemy w postaci
\(\displaystyle{ y = x^r, \quad y' = r x^{r-1}, \quad y'' = r(r-1)x^{r-2}}\)
stąd równanie charakterystyczne postaci
\(\displaystyle{ r(r-1) - 2 = 0}\)
Pierwiastki tego równania to kolejno \(\displaystyle{ r_1 = -1,\;\;\;r_2 = 2}\).
Czyli całka r. jednorodnego ma postać \(\displaystyle{ y_1 = C_1 x^{-1} + C_2 x^2}\).
Aby znaleźć całkę r. niejednorodnego możemy posłużyć się metodą uzmienniania stałych. Mamy więc
\(\displaystyle{ y_1 = C_1 (x) x^{-1} + C_2 (x) x^2}\)
Muszą być spełnione warunki:
\(\displaystyle{ C_1'(x) x^{-1} + C_2 '(x) x^2 = 0\\
- C_1'(x) x^{-2} + 2 C_2'(x) x = 6 \frac{\ln x}{x^3}}\)
Dalej dzielimy pierwsze równanie obustronnie przez x i dodajemy do drugiego:
\(\displaystyle{ 3 C_2'(x) x = 6 \frac{\ln x}{x^3} \iff C_2 (x) = - \frac{2 (1 + 3 \ln |x|)}{9x^3}}\)
Podobnie wyznaczamy, iż \(\displaystyle{ C_1(x) = - \ln^2 |x|}\).
Mamy więc całkę szczególną \(\displaystyle{ y_2 = C_1 (x) x^{-1} + C_2 (x) x^2 = - \frac{2}{9x} - \frac{2 \ln |x| + 3 \ln^2 |x|}{3x}}\)
Ostatecznie więc:
\(\displaystyle{ y = y_1 + y_2 = C_1 x^{-1} + C_2 x^2 - \frac{2 \ln |x| + 3 \ln^2 |x|}{3x}}\)
-
Kefir92
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 28 gru 2012, o 13:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
Równanie Eulera
Dlaczego równanie charakterystyczne wynosi tutaj: \(\displaystyle{ r(r-1)-2=0}\) nie powinno przypadkiem być \(\displaystyle{ r^{2}-2=0}\) ? Dopiero się uczę tematu i w porównaniu z innymi źródłami, nie pasuje mi to tutaj... Jeżeli jestem w błędzie, to przepraszam jednocześnie prosząc o wskazanie drogi ku oświeceniu
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8297
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1814 razy
Równanie Eulera
Kefir92, to wynika z podstawienia, które zapisałem - \(\displaystyle{ y = x^r}\). Jak to wstawisz do równania i uprościsz, to otrzymasz równanie charakterystyczne.