Dowód na niewymierność
: 5 paź 2005, o 17:49
Jak udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{6}}\) jest niewymierne?
Na wstępie skonstruujmy wielomian o współczynnikach całkowitych, taki że \(\displaystyle{ W\left(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{6}\right)=0}\).
\(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{6}}\)
Podnosząc obie strony do sześcianu dostajemy:
\(\displaystyle{ a^3=11+3\sqrt[3]{30}a}\), czyli równoważnie
\(\displaystyle{ a^3-11=3\sqrt[3]{30}a}\)
Podnosząc znów stronami do sześcianu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a^9-33a^6+363a^3-1331=810a^3}\), równoważnie
\(\displaystyle{ a^9-33a^6-447a^3-1331=0}\), więc
\(\displaystyle{ W(x)=x^9-33x^6-447x^3-1331}\).
Jeśli \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{6}}\) byłoby pierwiastkiem wymiernym otrzymanego wielomianu, to znajdowałoby się wśród dzielników wyrazu wolnego (\(\displaystyle{ -1331=(-11)^3}\), co jest oczywiście niemożliwe, bo te dzielniki to: \(\displaystyle{ \{\pm 1,\pm 11, 11^2, 11^3\}}\), co kończy dowód.
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki