Matematyka.pl

Mam 2 całki, ktore robie przez cześci ale nie wychodzi:
\(\displaystyle{ \int \sin^{2}x \; dx=}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{\sin^{3}x}{\cos^{4}x} \;dx =}\)

1) wskazówka:
\(\displaystyle{ \sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}}\)

drugą lepiej przez podstawienie: \(\displaystyle{ \cos x =t, -\sin x dx =dt, \sin^2 x=1-\cos^2 x}\). w pierwszej możesz skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ \cos 2x=1-2\sin^2 x}\). wyznaczasz stąd \(\displaystyle{ \sin^2 x}\), jak pokazał Szemek.

2)
\(\displaystyle{ \int\frac{\sin^{3}x}{\cos^{4}x} dx = t \frac{(1-\cos^2 x)\sin x}{\cos^4 x}dx = ... \\
t=\cos x \\
dt=-\sin x \ dx \\
... = t \frac{t^2-1}{t^4} dt = t t^{-2} - t t^{-4} dt = -t^{-1} + \frac{1}{3} t^{-3} + C = -\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{3\cos^3 x}+C}\)