pole trójkąta

[damalu]

Punkt P należy do boku BC trójkąta równobocznego ABC i dzieli ten bok na odcinki, których stosunek jest równy 2:1. Oblicz pole tego ttrójkąta wiedząc, że |AP| = d.

[Wicio]

stosunek 2:1
więc bok ma dł. 3x
to stosunek x :2x

Prowadzimy wysokość AD , która dzieli BC na połowy - tzn. po 1,5x
Wysokość w trójkącie równobocznym to: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} a}\) W naszym przypadku a=3x więc : \(\displaystyle{ AD= \frac{ \sqrt{3} }{2} 3x}\)

\(\displaystyle{ BP=x}\)
\(\displaystyle{ PC=2x}\)

\(\displaystyle{ PD= \frac{1}{2} BC -BP=1,5x-x=0,5x}\)

Z pitagorasa
\(\displaystyle{ PD ^{2} + AD ^{2} = AP ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (0,5x) ^{2} + ( \frac{ \sqrt{3} }{2} 3x)=d ^{2}}\)

Masz tylko niewiadomą x - obliczasz ją , a bok to 3x
\(\displaystyle{ P= \frac{ \sqrt{3} }{4} (3x) ^{2}}\)