Matematyka.pl

AD1. Punkt M leży wewnątrz trjkata równobocznego. Wykaż ze suma odległosci punktu M od boków trójkąta jest równa długosci wysokosci tego trójkąta.

Rysuje sobie i próbuje jakoś z pól powstałych trójkątów ale nie wychodzi

Oznaczenia,
A,B,C - wierzchołki trójkąta
M - punkt wewnątrz trójkąta

Nie będę robił rysunku, mam nadzieję, że poradzisz sobie bez, do dzieła:

Prowadzisz sobie wysokości z punktu M, prostopadłe do każdego z boków. (Nazwijmy te odcinki z,x,y)

I teraz, wiesz, że pole trójkąta ABC, jest równe sumie pól trójkątów ABM, AMB, ACM i to zapisujesz:

\(\displaystyle{ \frac{a^2*sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a*x+\frac{1}{2}*a*y+\frac{1}{2}*a*z}\)

dzielisz przez a oraz mnożysz przez dwa i masz wykazane, że:

\(\displaystyle{ \frac{a*sqrt{3}}{2}=x+y+z}\)

Dziękuję za uwagę ;x

dziekuje, wlasnie takie zadanie miałem na sprawdzianie i dałem rady
pozdrawiam

Aż się specjalnie zarejestrowałem żeby błąd wyhaczyć.

Takim sposobem wcale nie udowodni się że wysokość jest taka sama. Bo w tym wzorze nigdzie nie ma wysokości. Zamiast wzoru na pole trójkąta \(\displaystyle{ \frac{a^{2} * \sqrt{3}}{2}}\) powinno się umieścić \(\displaystyle{ \frac{1}{2} *h*a}\) (gdzie h to wysokość trójkąta ABC).

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ha = \frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}az + \frac{1}{2}ay}\)

Równanie dzielimy przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a}\)

\(\displaystyle{ h = x + z + y}\)

Wychodzi to co powinno.

ale to jest to samo, tylko wysokość jest zapisana w innej postaci

racja, przepraszam, wstyd mi... przez te całe sqrt chyba nie zauważyłem