Panowie,
Dziękuję, że zaintersowaliście się moim problemem. Niestety nie dotykacie esencji tego problemu. Być może wynika to z tego, że coś źle od początku tłumaczyłem. Ale do rzeczy... Oba prawa są już dla mnie zupełnie jasne. Wskazówki znalazłem w świetnym artykule na temat z . Polecam przeczytać, bo takich wiadomości jak tam, nie znalazłem w żadnej książce matematycznej. Jednym z kluczowych elementów (a przynajmniej ważnych dla mnie) jest fakt, że najpierw powstało prawo niesprzeczności a z niego wynika dopiero prawo wyłączonego środka. Dowiedzieć się także można, że właściwa nazwa pierwszego prawa, to PRAWO NIESPRZECZNOŚCI. Używa się co prawda także nazwy prawo sprzeczności, ale takie właśnie sformułowanie spowodowało u mnie niezrozumienie. Przynajmniej Helena Rasiowa w swoim Wstępnie do Matematyki Współczesnej nazywa to prawo: PRAWEM WYŁĄCZONEJ SPRZECZNOŚCI, co jest dla mnie jak najbardziej do zaakceptowania. Od tej pory będę więc posługiwać się nazwą Prawo Niesprzeczności.
Panie Janie,
Stwierdził Pan, że przy dowodzeniu metodą zero-jedynkową rozważam zdania
\(\displaystyle{ p}\) oraz
\(\displaystyle{ \sim p}\) jako dwie niezależne zmienne, a chodzi przecież o jedno zdanie. W zasadzie tak, ale jeśli chodzi o dowód, to rozważamy tutaj jak najbardziej wszystkie możliwe kombinacje. Generalnie o to tu właśnie chodzi.
Przejdźmy do prawa niesprzeczności:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
\sim & p & \wedge & \sim p \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{tabular}}\)
Oto deficja Leitnera i Żakowskiego:
z dwóch zdań \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ \sim p}\) co najmniej jedno jest fałszywe. Prawo to orzeka, że dwa zdania sprzeczne nie mogą być jednocześnie prawdziwe.
A oto analiza tego układu.
Kluczem do zrozumienia tego prawa jest właśnie ostatni wiersz tabeli, kiedy oba zdania są jednocześnie prawdziwe, co rozumiemy jako sprzeczność. Wprowadzenie negacji w tym prawie eliminuje tą sprzeczność i pokazuje nam warunek, kiedy dwa zdania nie są sprzeczne. Oba zdania
\(\displaystyle{ p}\) oraz
\(\displaystyle{ \sim p}\) nie są sprzeczne wtedy, gdy nie są jednocześnie prawdziwe. Z tego wyłania się jeszcze jeden bardzo ważny wniosek. Tutaj dopiero skupiamy się na pojedynczej zmiennej
\(\displaystyle{ p}\).
Otóż zdanie \(\displaystyle{ p}\) nie może być jednocześnie prawdziwe i fałszywe. To było dla mnie ważne odkrycie, gdyż żadna książka, którą posiadam, tego w ten sposób nie tłumaczy. Ta definicja pochodzi wprost od Arystotelesa, który to prawo de facto wymyślił.
Teraz dochodzimy do wiersza pierwszego: dwa zdania niesprzeczne mogą być jednocześnie fałszywe? Ten pierwszy wiersz tabeli pozornie nie wyklucza bowiem istnienia trzeciej możliwości. Wrócę do przykładu z kątami. Mając zdania:
kąt prosty jest > 90 stopni
oraz
kąt prosty jest < 90 stopni
mamy do czynienia ze zdaniami jednocześnie fałszymi, które nie są sprzeczne, z punktu widzenia tego prawa. To jest tzw. sprzeczność w ujęciu potocznym. Istnieje tutaj trzecia możliwość: kąt prosty jest = 90 stopni. I dopiero zestawienie dwóch zdań:
kąt prosty jest > 90 stopni
oraz
kąt prosty jest = 90 stopni
daje nam prawidłowe zdanie niesprzeczne. Dlaczego prawidłowe?
To nie jest takie zupełnie łatwe do zrozumienia. Jak już napisałem wcześniej kluczem jest ostatni wiersza tabeli. Skoro dwa zdania sprzeczne nie mogą być jednocześnie prawdziwe, to wiadomym jest, że nie mogą być jednocześnie fałszywe. Można to udowodnić odpowiednimi przekształceniami. I na tej podstawie można odrzucić wiersz pierwszy jako opisujący zdanie typowo sprzeczne.
Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla prawa wyłączonego środka, które wynika z prawa niesprzeczności. Dlaczego wynika? To już jest ładnie opisane w artykule ze Stanford University.
Jedna z osób w tym wątku stwierdziła, że prawo niesprzeczności i prawo wyłączonego środka są tautologiami. Istotnie są. Są zawsze prawdziwe bez względu na to, jaką wartość logiczną podstawimy pod
\(\displaystyle{ p}\). Przy czym tutaj wiemy już co to są zdania sprzeczne i układ sprzeczny z góry odrzucamy. Wtedy pozostaje nam rozważać tą tautologię bez sytuacji sprzecznej, czyli bez jednoczesnej fałszywości oraz prawdziwości zdania
\(\displaystyle{ p}\). I wtedy pozostaje nam już tylko klasyczny układ dwóch możliwości:
\(\displaystyle{ p = 1}\) i \(\displaystyle{ \sim p = 0}\)
\(\displaystyle{ p = 0}\) i \(\displaystyle{ \sim p = 1}\)
Dwie dodatkowe możliwości, które wcześniej opisywałem odrzucam, jako sprzeczne z definicji. Powiem więcej: będę je odrzucać już zawsze z wyjątkiem jednej sytuacji. Sytuacji kiedy rozważam samą zasadę działania prawa niesprzeczności oraz wyłączonego środka.
I wszystko gra.
Pozdrawiam
Wizard