Matematyka.pl

Mam za zadanie policzyć siłę normalną w pręcie o przekroju prostokątnym o wymiarach b x h . Osie x i y przechodzą przez środek ciężkości prostokąta, a jego bok o długośći h jest równoległy do osi y.

Potrzebuję obliczyć całkę: \(\displaystyle{ \iint}\)\(\displaystyle{ \frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+3k^2}}dA}\)

Jak się do tego prawidłowo zabrać? Jeśli to istotne, to zadanie ma być wykonane w Mathematice. Z góry dzięki za pomoc.

O ile dobrze zrozumiałem treść, to:
różniczka powierzchni dA to po prostu dxdy, pozostaje jeszcze wyznacyć granice całkowania, ale jako że całkujemy po prostokącie jest to dziecinnie proste. Ostatecznie należy wprowadzić do Mathematici następującą całkę:
\(\displaystyle{ \int\limits_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} t\limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \frac{k}{\sqrt{x^2 + y^2 + 3k^2}} \, \mbox{d}y \, }\).

Dobrze zrozumiałeś. Tylko niestety chyba nie umiem tego wprowadzić z odpowiednimi założeniami, bo wychodzi kilka linijek odpowiedzi, które mi nic nie mówią. A wpisuję komendę:

Integrate[L/(y^2 + z^2 + 3*L^2)^(1/2), {y, -h/2, h/2}, {z, -b/2, b/2}] Acha, jeszcze k, które zamieniłem na L jest >0. Jak to w Mathematice uwzględnić?

Założenia podaj jako końcowy argument funkcji Integrate:
\(\displaystyle{ \text{Integrate}\left[\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+3k^2}},\left\{x,\frac{-b}{2},\frac{b}{2}\right\},\left\{y,\frac{-h}{2},\frac{h}{2}\right\},\text{Assumptions}\to k>0\right]}\)

Wpisałem to, co poleciłeś i wyszło coś takiego, jak niżej. Nie podoba mi się efekt końcowy, jak mam go rozumieć, bo wygląda to jak brzydka kupa. Co oznaczają te dwie pionowe kreski obok siebie?

Kod: Zaznacz cały

2 k If[(Sqrt[3] + 6 k Im[1/b] <= 0 || 6 k Im[1/b] >= Sqrt[3] || 
     Re[b] != 0) && (Re[Sqrt[-h^2 - 12 k^2]/b] <= -1 || 
     Re[Sqrt[-h^2 - 12 k^2]/b] >= 1 || 
     Im[Sqrt[-h^2 - 12 k^2]/b] != 0), 1/(
  2 h Sqrt[b^2 + h^2 + 
    12 k^2])(2 b h Sqrt[b^2 + h^2 + 12 k^2]
      ArcSinh[Sqrt[h^2]/Sqrt[b^2 + 12 k^2]] - 
    4 Sqrt[3] Sqrt[h^2] k Sqrt[b^2 + 12 k^2] Sqrt[(
     b^2 + h^2 + 12 k^2)/(b^2 + 12 k^2)]
      ArcTan[(b h)/(2 Sqrt[3] k Sqrt[b^2 + h^2 + 12 k^2])] - 
    h Sqrt[h^2] Sqrt[b^2 + 12 k^2] Sqrt[(b^2 + h^2 + 12 k^2)/(
     b^2 + 12 k^2)] Log[-b + Sqrt[b^2 + h^2 + 12 k^2]] + 
    h Sqrt[h^2] Sqrt[b^2 + 12 k^2] Sqrt[(b^2 + h^2 + 12 k^2)/(
     b^2 + 12 k^2)] Log[b + Sqrt[b^2 + h^2 + 12 k^2]]), 
  Integrate[b ArcSinh[Sqrt[h^2]/(2 Sqrt[3 k^2 + (-b/2 + b x)^2])], {x, 0, 1}, 
   Assumptions -> k > 0 && ! ((Sqrt[3] + 6 k Im[1/b] <= 0 || 6 k Im[1/b] >= Sqrt[3] || 
          Re[b] != 0) && (Re[Sqrt[-h^2 - 12 k^2]/b] <= -1 || 
          Re[Sqrt[-h^2 - 12 k^2]/b] >= 1 || 
          Im[Sqrt[-h^2 - 12 k^2]/b] != 0))]]

Wiele nie widać, ale nie mogę jeszcze zamieszczać obrazków, ani linków..

Nie wiem której wersji używasz, ale w 6 jest taka fajna opcja 'Edit'->'Copy As'->'LaTeX' i wtedy można elegancko wkleić gotową formułkę między tagi 'tex' na forum.
Pionowe kreski '||' oznaczają po prostu lub. Mathematica jak widać rozważa bardzo dużo przypadków

.
Imho lepiej to zrobić 'manualnie' tj. obliczyć nieoznaczoną i samemu uwzględnić granice lub podopisywać tyle założeń, by program nie miał dwuznaczności co do wyniku.

Tak na szybko policzyłem i chyba wychodzi:
\(\displaystyle{ -b k+2 \sqrt{3} k^2 \text{ArcCot}\left[\frac{2 \sqrt{3} k}{b}\right]-\frac{1}{2} b k \text{Log}[4]-\frac{1}{2} h k \text{Log}[4]+\frac{1}{2} h k \text{Log}\left[-b+\sqrt{b^2+h^2+12 k^2}\right]+\frac{1}{2} h k \text{Log}\left[b+\sqrt{b^2+h^2+12 k^2}\right]+\frac{1}{2} b k \text{Log}\left[-h+\sqrt{b^2+h^2+12 k^2}\right]+\frac{1}{2} b k \text{Log}\left[h+\sqrt{b^2+h^2+12 k^2}\right]}\)
Z tymi logarytmami można zrobić porządek, ale to już chyba samemu trzeba.

Akurat używam wersji 6, to zacznę Latexować. Mógłbyś podać jaki kod wklepałeś do swojej Mathematici, żeby uzyskać taki wynik?

Za każdym razem coś innego mi wychodzi :/
Ale teraz wpisanie
\(\displaystyle{ \text{Expand}\left[\text{FullSimplify}\left[\text{Integrate}\left[\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+3k^2}},\left\{x,\frac{-b}{2},\frac{b}{2}\right\},\left\{y,\frac{-h}{2},\frac{h}{2}\right\}, \text{Assumptions}\to k>0\&\&b\neq 0\&\&h\neq 0\&\&\text{Im}\left[\sqrt{-h^2-12 k^2}\right]\neq 0\&\&b\in \text{Reals}\&\&h>0\&\&b>0\right]\right]\right]}\)
powinno ostatecznie zakończyć problem

(niestety długa formułka o strona się rozjeżdża )

No teraz to jest perfekt.

Czyli nie ma innej rady jak najpierw policzyć na pałę, zobaczyć do czego się przyczepi i wtedy wprowadzić dodatkowe warunki, tak? Oprócz tego chyba dałeś raz warunek, że b,h różne od 0, a potem, że b,h>0? Dzięki wielkie za pomoc.

A tak, bo co chwila dodawałem nowe założenia i nie patrzyłem na to co już było

A co do obliczania jeszcze to tak jak wcześniej pisałem - można też obliczyć nieoznaczoną a potem uwzględnić granice. Wszystko przebiega wg identycznego schematu jak na papierze.

Haha, już mi nie przypominaj o papierze. Od kiedy zostałem zdopingowany do zabawy z Mathematicą już wiem, że nie będę się bawił w papier. Dzięki za pomoc.

[ Dodano: 21 Maj 2008, 01:55 ]
Jeszcze mam takie pytanie. Co należy zrobić, żeby po użyciu komendy Manipulate[h, {h, 0, Infinity}] i ustaleniu wartości h móc ja przypisać na stałe bez ręcznego wpisywania, że h=jakas konkretna wartość? Albo jaką inną komendą "załatwić" sprawę?

Matematyka.pl

Całka oznaczona

Całka oznaczona

Całka oznaczona

Całka oznaczona

Całka oznaczona

Całka oznaczona

Całka oznaczona

Całka oznaczona

Całka oznaczona

Całka oznaczona

Całka oznaczona

Całka oznaczona