Matematyka.pl

Mam problem. Dostałem nastepujące zadanie i nie weim jak je rozwiązać :

Jest wyrażenie \(\displaystyle{ 2^{16} + 3^{40} + 5^{2999} + 2\cdot 4^7}\) . Czy wynik tego wyrażenia da się podzielić przez 10 .

[ Dodano: Sro Wrz 28, 2005 6:09 pm ]
z góry dziekuje

[ Dodano: Sro Wrz 28, 2005 6:11 pm ]
odpowiedzi prosze pisać na meila kamill-miku@02.pl

Interesuje nas ostatnia cyfra:
(6+1+5+2)mod10=4
A więc nie jest podzielne przez 10.

Edit:
W nawiasie rzeczywiście ostatnia cyfra powinna wynosić 8.

\(\displaystyle{ 2^{10}\equiv 4 od {10}}\)
\(\displaystyle{ 2^6=64}\), więc
\(\displaystyle{ 2^{16}\equiv 2^8 = 256 \equiv 6 od {10}}\) (*)

Zauważ, że każda potęga piątki daje resztę 5 przy dzieleniu przez 10, więc:

\(\displaystyle{ 5^{2999}\equiv 5 od {10}}\) (**)

\(\displaystyle{ 3^4\equiv 1 od {10}}\), więc:
\(\displaystyle{ 3^{40}\equiv 1 od {10}}\) (***)

\(\displaystyle{ 2^{10}\equiv 4 od {10}}\)
\(\displaystyle{ 2^{14}=4^7\equiv 2^6=64\equiv 4\pmod {10}}\)
\(\displaystyle{ 2\cdot 4^7\equiv 8\pmod {10}}\) (****)

Dodając kongruencje (*), (**), (***) i (****) stronami dostajesz:
\(\displaystyle{ 2^{16}+5^{2999}+3^{40}+2\cdot 4^7 \equiv 6 + 5 + 1 + 8 = 20 \equiv 0 od {10}}\), więc nasza suma jest podzielna przez 10.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki