Matematyka.pl

Witam serdecznie,
Potrzebuje pilnie wiedziec i zrozumiec jak indukcyjnie rozwiazac nastepujace przykłady
a)\(\displaystyle{ n! \geq n^{\frac{1}{2}}}\) ,zał: \(\displaystyle{ n \geq 1}\)
b)\(\displaystyle{ (2^n)n! \leq n^n}\) ,zał: \(\displaystyle{ n \geq 6}\)


Pozdrawiam
Gregorio

~~*~~
spróbuj się zapoznać z TYM

1. sprawdzasz prawdziwość dla n=1
\(\displaystyle{ L=n!=1!=1}\)
\(\displaystyle{ P=\sqrt{n}=\sqrt{1}=1}\)
L=P
2. Założenie indukcyjne - twierdzenie jest prawdziwe dla n: \(\displaystyle{ n! \geq \sqrt{n}}\)
Teza - twierdzenie jest prawdziwe dla n+1: \(\displaystyle{ (n+1)!\geq \sqrt{n+1}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ (n+1)!=n!*(n+1) \geq}\)(z założenia indukcyjnego) \(\displaystyle{ \sqrt{n}*(n+1)>(n+1)>\sqrt{n+1}}\)
3. Na mocy indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego n naturalnego.

a drugie musisz miec koniecznie za pomoca indukcji wykazane czy tak tylko ci sie wydaje, bo sa tam liczby naturalne
bo ta nierownosc wychodzi natychmiast z nierownosci pomiedzy srednia arytmetyczna a geometryczna, na upartego mozna skorzystac z indukcyjnego dowodu nierownosci AM-GM przy podstawionych konkretnych wartosciach

Juz mi sie udało drugie, tak tez indukcja ale podstawilem parametr, bo ciezko wychodziło . Dziekuje wszystkim

Reksio: moglbys wyjasnic w jaki sposob chcesz do przykladu 2 zastosowac nierownosci miedzy srednimi?

sory pomylilem sie ze srednich wychodzi n+1/2 na koncu