Matematyka.pl

zrobilem zadanie z tegorocznej matury calkiem inaczej niz w przykladowych odpowiedziach (pewnie źle). Jak ktos zerknie do niech napisze czy jest źle.

Treść:
Wielomian \(\displaystyle{ f}\) spełnia warunki: \(\displaystyle{ f(-6) = 0}\)\(\displaystyle{ f(-5) = 0}\)\(\displaystyle{ f(-3) = 0}\)\(\displaystyle{ f(0) = 90}\) Wieloman \(\displaystyle{ g}\) dany jest wzorem \(\displaystyle{ g(x) = x^{3} - 14x^{2} + 63x - 90}\) Wykaż że \(\displaystyle{ g(x) = -f(-x)}\) dla \(\displaystyle{ x R}\)

Moja odpowiedz:

\(\displaystyle{ g(x) = -f(-x) / -1}\)
\(\displaystyle{ -g(x) = f(x)}\)
Wynika z tego że mam wykazać iż funkcje f(x) i g(x) są względem siebie różnowartnościowe (inaczej: symetralne względem początku układu współrzędnych)
1) Mają takie same dziedziny (zbiór liczb rzeczywistych)
2)Skoro \(\displaystyle{ \begin{cases} f(-6) = 0 \\ f(-5) = 0 \end{cases} \begin{cases} f(-3) = 0 \\ f(0) = 90 \end{cases}}\)to g(x) bedzie musiało spełnić następujące warunki: \(\displaystyle{ \begin{cases} g(6) = 0 \\ g(5) = 0 \end{cases} \begin{cases} g(3) = 0 \\ g(0) = -90 \end{cases}}\)
Podstawiałem te liczby (6,5,3) do g(x) i wyszły mi wartosci 0 a dla x = 0 wartosc 90. Czyli tak jak miało wyjsć. Ale czy ja wykazałem to co miałem??

Trochę nakombinowane... Można było po prostu wstawiać do wzoru na wielomian. Odpowiedzi masz na przykład na stronie CKE

no to wiem jak mozna bylo zrobić. uswiadomilem to sobie zaraz po fakcie. jak wyszedłem.
Tylko mnie interesuje czy to co zrobilem jest choć w częsci sensowne. znaczy się czy tym co zrobiłem to wykazałem co miałem

Masz dobrze!


Wielomiany 3-stopnia są równe gdy dla 4 argumentów przyjmują takie same wartości, a to wykazałes.

mogles je podstawic do r-nia
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+d
tez by wyszlo

Tak się zastanawiam, ale czy jest gdzieś napisane, że f jest wielomianem 3-go stopnia?

Właśnie nigdzie nie jest napisane, że wielomian f(x) jest stopnia trzeciego. Ja przyjąłem, że jest on stopnia trzeciego lub większego. Dla stopnia trzeciego zachodzi równość którą należało udowodnić jednak dla stopni większych nie zachodzi

[url=http://wiadomosci.gazeta.pl/Wiadomosci/1,80269,5213166.html?skad=rss]Artykuł 3[/url]
[url=http://www.tvn24.pl/0,1549739,wiadomosc.html]Artykuł 4[/url]
[url=http://www.gpmedia.pl/apps/pbcs.dll/article?AID=/20080515/KRAJSWIAT/737160332]Artykuł 5[/url]

schmude pisze:Tak się zastanawiam, ale czy jest gdzieś napisane, że f jest wielomianem 3-go stopnia?

Jest \(\displaystyle{ g(x)=-f(-x).}\)

JankoS pisze:

schmude pisze:Tak się zastanawiam, ale czy jest gdzieś napisane, że f jest wielomianem 3-go stopnia?

Jest \(\displaystyle{ g(x)=-f(-x).}\)

To jest teza. Jeśli zakładamy, że teza jest prawdziwa, to po co ją udowadniać...
Nigdzie nie jest wprost i jednoznacznie stwierdzone, że jest to wielomian 3 stopnia. Wypowiadało siię już na ten temat kilku profesorów matematyki.

enigm32 pisze:To jest teza. Jeśli zakładamy, że teza jest prawdziwa, to po co ją udowadniać...

Nigdzie nie napisałem, że teza jest prawdziwa. A na pewno jest fałszywa, gdy f jest innego stopnia od stopnia g.

No właśnie, jeśli wielomian nie jest 3 stopnia to teaz jest fałszywa i o to cały spór, bo nikt nie mówi, że 3 stopnia jest, z wykresu też to nie wynika. My musimy przyjąć, że jest 3 stopnia, dopiero wtedy zadanie robi się sensowne. Więcej informacji na temat nieścisłości tego zadania można znaleźć w Internecie.
Zresztą zasada jest taka, że nie możemy brać informacji z tezy i wykorzystywać ich w dowodzie. Zatem ostatecznie, nie jesteśmy w stanie napisać wzoru wielomianu spełniającego warunki podane w zadaniu, bo potem sprawdzić prawdziwość tezy.

enigm32 pisze:No właśnie, jeśli wielomian nie jest 3 stopnia to teaz jest fałszywa i o to cały spór, bo nikt nie mówi, że 3 stopnia jest, z wykresu też to nie wynika. My musimy przyjąć, że jest 3 stopnia, dopiero wtedy zadanie robi się sensowne. Więcej informacji na temat nieścisłości tego zadania można znaleźć w Internecie.
Zresztą zasada jest taka, że nie możemy brać informacji z tezy i wykorzystywać ich w dowodzie. Zatem ostatecznie, nie jesteśmy w stanie napisać wzoru wielomianu spełniającego warunki podane w zadaniu, bo potem sprawdzić prawdziwość tezy.

Widzę, że muszę wyłożyć kawę na ławę.
Co zasady " nie możemy brać informacji z tezy i wykorzystywać ich w dowodzie", to pozwolę sobie mieć odmienne zdanie. Np. dowody apagogiczne.
Co do nieścisłości. Nie bardzo wiadomo na czym ona ma polegać. Tam przecież napisało }f jest wielomianem".
Tutaj dowód jest wprost więc zaczynamy od zalożenia. Istnieje coś takiego jak metoda "rozważmy wszystkie przypadki" ,Więc je rozważam:(A) f jest wielomianem stopnia różnego od 3 albo (B) f -jest st. 3. Rozpatruję A otrzymuję sprzeczność z definicją równości wielomianu. Pozostaje przypadek B, bo po prawej stronie tezy jakiś wielomian musi istnieć (W ostateczności jest nim sam g).
Oczywiście pozostaje kwestia związku między stopniami f(x) i -f(-x), ale to jest raczej łatwe.

Mój pierwszy post był skrótem myślowym.

Jak dla mnie twórca tego zadania i cały sztab maturalny co to sprawdzał, czy nie wiem kto jeszcze, założyli sobie, że wzór tego wielomianu "widać" mając miejsca zerowe i wartość wielomianu w punkcie 0. Jednak mnie nauczycielka matematyki przez trzy lata nauczyła tego, że "w matematyce nic nie widać" i na tym polega cały problem.

Zagdzam się z tym, że w tym momecie najlepszym wyjściem jest porpostu rozpatrzenie dwóch przypadków co do stopnia wielomianu f. Ale na poziomie maturalnym, licealnym takie sformułowania (mam na myśli tezę) traktowane są jak gdyby stał przed nimi kwantyfikator "dla każdego". Przykładowo w podręcznikach pisze "suma kątów wewnętrzyh trójkąta wynosi 180 stopni" z ukrytym kwantyfikatorem, itp.
"(...) Wykaż, że g(x)=-f(-x) (...)" - na pewno chodziło im o to, że zachodzi to zawsze, a nie tylko dla jakiś szczególnych przypadków. Zresztą to typowe dla wielu zadań.
Poza tym osoby bardziej kompetentne również twierdzą, że zadanie jest błęde.



[ Dodano: 17 Maj 2008, 16:40 ]
Jak tak zerknąłem teraz na tę maturę na stronei CKE, to jeszcze o ich błędzie może świadczyć wzorcowe rozwiązanie, w którym bez najmniejszych wahań wielomian f tarktowany jest jak stopnia trzeciego.