Matematyka.pl

Czy liczba \(\displaystyle{ \sqrt2^{{\sqrt2}^{\sqrt2}}}\) jest przestępna? Czy dowód na przestępność liczby \(\displaystyle{ \pi}\) można zrozumieć na poziomie licealnym? Jeśli tak, to czy wiedzie gdzie można znaleźć taki dowód:)

Pozdrawiam

Może pomoże

Dzięki za link! Odpowiedział on na pytanie...ale teraz mam ich jeszcze więcej:). Czy jeśli jakaś liczba przestępna nie jest przedstawiona w postaci potęgi ( czyli właśnie np. \(\displaystyle{ \pi}\)) to czy po podniesieniu jej do jakiejś potęgi możemy uzyskać liczbę algebraiczną? Czy istnieją liczby przestępne, które po podniesieniu do jakiejkolwiek potęgi, wciąż będą przestępne? Jak można udowodnić, że jakaś liczba jest przestępna? Coś słyszałem o teorii Galoi, czy ona w tych pytaniach mogłaby pomóc? Jeśli tak, to czy znacie jakieś sensowne źródło informacji na ten temat:). Z góry dzięki

peretfe pisze:Czy istnieją liczby przestępne, które po podniesieniu do jakiejkolwiek potęgi, wciąż będą przestępne?

Każda liczba przestępna podniesiona do potęgi 0 da liczbę algebraiczną.

peretfe pisze: Czy jeśli jakaś liczba przestępna nie jest przedstawiona w postaci potęgi ( czyli właśnie np. \(\displaystyle{ \pi}\)) to czy po podniesieniu jej do jakiejś potęgi możemy uzyskać liczbę algebraiczną?

Patrz wyżej.

peretfe pisze:Czy dowód na przestępność liczby można zrozumieć na poziomie licealnym?

Nie widziałem dowodu na przestępność liczby \(\displaystyle{ \pi}\), lecz domyślam się, że nie jest łatwy. Natomiast dowód niewymierności jest znośny.

Dzięki:). A czy wiesz może, gdzie mógłbym przeczytać dowód na niewymierność \(\displaystyle{ \pi}\)? Lub jeśli jest krótki, to czy mógłbyś go tutaj umieścić:)?

Znalazłem coś o przestępności:
i .

Ja za to znalazłem dowód niewymierności \(\displaystyle{ \pi}\) , jednak ani z Twoich dwóch linków, ani z tego mojego, nie rozumiem za wiele...( adokładniej, to mojego nie rozumiem w pełni). Zastanawiam czy takie i tym podobne dowody, czy to na przestępność, czy to na niewymierność, można zrozumieć bez wiedzy z rachudnku całkowego?

Pozdrawiam

To zależy od tego, jakiej liczby niewymierność chcesz udowodnić. Na przykład dowody niewymierności liczb \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ e}\) są łatwe. Dowody przestępności liczb są bardzo trudne, o czym świadczą hipotezy dotyczące liczb takich jak \(\displaystyle{ e+\pi}\), czy \(\displaystyle{ \pi^{e}}\).