Matematyka.pl

W prostokącie ABCD wierzchołek D połączono odcinkami ze środkami E i F boków AB i BC,
zaś M i N to punkty przecięcia tych odcinków z przekątną AC (patrz rysunek).
a) Uzasadnij, że odcinki AM, MN i NC są jednakowej długości.
b) Uzasadnij, że trójkąty AEM i CNF mają równe pola.
rysunek: ... tuulc4.gif

tr. AND~CFN w skali 2:1 oznacza to, że NA=2CF, skąd wynika, że CF=1/3 przekątnej. analogicznie, tr. CMD~AEM w skali 2:1, a stąd CM=2AM i AM=1/3 przekątnej. stąd wynika równość odp. odcinków.

pola trójkątów AMD, MND i NCD są równe (równe podstawy, ta sama wysokość) i mają pole równe 1/6 pola prostokąta. pole tr. AND= pole tr. CMD = 2/6 pola prostok. na mocy wspomnianego poprzednio podobieństwa pola odp. trójkątów są równe, bo wynoszą 1/4*2/6 pola prostok.

To zadanie było na którejść maturze, zerknij na strone CKE, tam są również klucze.