Matematyka.pl

Witam!

Mam za zadanie wyznaczyć asymptotę pionową i poziomą (prawo i lewostronną) funkcji:

\(\displaystyle{ \large\frac{x^{2}+4x+3}{-4x}}\)

Problem w tym, że znam jedynie (aż) def. poszczególnych asymptot. Ni jestem pewien czy dobrze to robię, więc prosiłbym o sprawdzenie:

Asymptota pionowa:

1.) Wyznaczam granicę na krańcach określoności funkcji
2.) Wybieram środkową liczbę, wspólną dla obu przedziałów, czyli 0
3.) Liczę granicę praowpstronną funkcji w zerze, wychodzi mi \(\displaystyle{ -\infty}\), a więc prosta x=0 jest prawostronną asymptotą mojej funkcji.
4.) Liczę granicę lewostronną funkcji w zerze, wychodzi mi \(\displaystyle{ \infty}\), a więc prosta x=0 jest lewostronną asymptotą mojej funkcji
5.) Tak więc prosta x=0 jest obustronną asymptotą mojej funkcji

Asymptota pozioma:

1.) Liczę granicę w \(\displaystyle{ \infty}\) --> wychodzi mi \(\displaystyle{ -\infty}\). Funkcja nie ma więc asymptoty poziomej, prawostronnej.
2.) Liczę granicę w \(\displaystyle{ -\infty}\) --> wychodzi mi \(\displaystyle{ \infty}\). Funkcja nie ma więc asymptoty poziomej lewostronnej.

Gdyby ktoś mógł ocenić mój sposób rozumowania, byłbym wdzięczny.

Łatwo zapamiętać zasadę: przy asymptocie pionowej badasz granicę przy x dążącym do zera z lewej strony poprzez wartości ujemne i jeśli ta granica to nieskończoność to asymptota lewostronna istnieje musisz tylko uważac przy sporządzaniu wykresu czy jest to plus czy minus nieskończoność. To samo tyczy się asymptoty prawostronnej. Czyli dla dowolnego x bliskiego zeru y przyjmuje coraz większe wartości (lub coraz mniejsze przy - nieskończoności). Nie zawsze musi być to liczba zero. Z reguły wybiera się ten punkt, który ne należy do dziedziny, e którym funkcja jest nieokreślona. Przy asymptocie poziomej jest odwrotnie czyli badasz granicę przy x dążącym do nieskonczoności i tu powinna wyjść konkretna liczba. Czyli znaczy to, że jeśli x jest coraz większe to y nie przekracza określonej wartości dla każdego x. Ja sobie zawsze to tak tłumaczę. Ale z tą granicą pionową to musisz uważać, bo może się okazać, że funkcja jest w tym punkcie po prostu nieciągła. W tym przypadku też tak może być. Musisz zbadać otoczenie liczby zero. Nieck ktoś jeszcze się na ten temat wypowie.