Matematyka.pl

Prosze bardzo o pomoc w rozwiązaniu następujących zadań:

1. Funkcje \(\displaystyle{ f(x)=log(1+x^3)}\) i \(\displaystyle{ g(x)=xsinx+cosx^2}\) rozwiń we wzór Taylora do wyrazów kwadratowych w dowolnym punkcie x z dziedziny (niech to bedzie np. 1). Reszty zapisz w postaci Cauchy`ego i Lagrange`a.
2. Rozwiń podane funkcje we wzór Maclaurine z resztą \(\displaystyle{ R_n}\) w postaci Peano:
\(\displaystyle{ \frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}}\) (n=5)
\(\displaystyle{ log\frac{sinx}{x}}\) (n=6)

Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś dla przykładu rozwinął po jednej funkcji z tymi resztami (tu przede wszystkim pojawia się problem, choć i samo rozwinięcie sprawia trudności:() z obu zadań. Wydaję mi się (a przynajmniej mam taką nadzieję), że jak zobacze te przykłady to rozwiążą sie moje problemy.
Z góry dziękuję.

nie bardzo rozumie w czym problem:
nie wiem niestety co to jest reszta cauchy'ego ... no ale wezmy twoja pierwsza funkcje i rozwinmy w maclaurina czyli w zerze ktora jest w dziedzinie:
\(\displaystyle{ f(x)=\ln(1+x^3)}\)
\(\displaystyle{ \ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n{x^{n+1}\over n+1}}\)
teraz zamiast x wstawiasz x^3 ucinasz sume dla tam zadanego n i dalej ...
a) dodajesz reszta lagrange'a ktora ma postac:
\(\displaystyle{ R_n=(-1)^{n+1}{t^{n+2}\over n+2}\ \ \ t \in [0,x^3]}\)
b) dodajesz reszte Peano:
\(\displaystyle{ R_n=o(x^{n+1})}\)
c) ... nie wiem niestety co to reszta cauchy'ego

oczywiscie mozna liczyc kolejne pochodne f(x) i podstawiac i pewnie to o to chodzi w tym zadaniu ... no ale juz przynajmniej wiesz jakie sa postaci dwoch reszt