Matematyka.pl

Zadanie brzmi Na trójkącie równoramiennym ABC AC = BC o polu równym \(\displaystyle{ 3 \sqrt{3}}\)opisano okrąg, którego promień ma długość 2. Oblicz długość wysokości CD tego trójkąta.

Próbuje coś uzależniać powiedzmy, że O niech bedzie środkiem okręgu opisanego. rozważam trójkąt AOD, ale cały czas pozostaje mi dwie niewiadome.

Zauważ, że skoro trójkąt jest równoramienny, to jeśli przez O oznaczymy środek okręgu opisanego na trójkącie ABC to odcinek OC musi w całości należeć do wysokości opuszczonej bok AB. Oznaczmy więc przez x odcinek OD. Wtedy \(\displaystyle{ h = r + x}\). Rozważmy teraz trójkąt ABO. Środek okręgu opisanego na ABC musi należeć do symetralnej boku AB. W trójkącie równoramiennych jedna z wysokości i symstralnych się pokrywają. Stąd |AD| = |BD|.
Rozważmy trójkąt prostokątny ADO. Jego boki mają długości \(\displaystyle{ |AD| = \frac{|AB|}{2}}\), x oraz r. r mamy dane, więc możemy z tw. Pitagorasa napisać:
\(\displaystyle{ x^2 + (\frac{|AB|}{2})^2 = r^2 = 4}\).

Znamy też pole trójkąta, więc napiszmy:
\(\displaystyle{ \frac{|AB| h}{2} = 3\sqrt{3}}\).

Mieliśmy wcześniej, że \(\displaystyle{ h = r + x}\). Pozostało wyznaczyć h z równania na pole, wstawić to do równania uzyskanego z tw. Pitagorasa i wykorzystać ostatnią rowność (być może niekoniecznie w tej kolejności ). Życzę powodzenia