Matematyka.pl

W prostej o równaniu \(\displaystyle{ 2x+y-6=0}\) zawiera się bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2y-4=0}\). Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2y-4=0 \\
x^2+(y-1)^2=5 \\
S(0,1) \quad r=\sqrt{5}}\)

Jeżeli w prostej 2x+y-6=0 zawiera się bok kwadratu opisanego na okręgu to ta prosta jest styczna do tego okręgu.
Rozwiązując układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-6=0 \\ x^{2}+y^{2}-2y-4=0 \end{cases}}\)
obliczymy współrzędne punktu styczności \(\displaystyle{ M(x_m,y_m)}\)

Rozwiązując układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-6=0 \\ (x-x_m)^2+(y-y_m)^2=5 \end{cases}}\)
obliczymy współrzędne dwóch wierzchołków.

Współrzędne pozostałych dwóch wierzchołków obliczymy z tego, że S - środek okręgu jest również środkiem obu przekątnych.

wyznacz punkty przecięcia prostej i okręgu - niech będą to A i B, masz już dwa wierzchołki. wyznacz wektor AB - niech będzie to [p,q]. prostopadły do niego o tej samej długości ma postać [-q,p] lub [q,-p]. zaczep je w A - otrzymasz punkty A' i A'' - sprawdź, który z nich leży na okręgu. zaczep je w B i tak samo sprawdź. masz już wszystkie wierzchołki.

o - lepsze rozwiązanie powyżej.

Szemek pisze:\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-6=0 \\ (x-x_m)^2+(y-y_m)^2=5 \end{cases}}\)
obliczymy współrzędne dwóch wierzchołków.

Może mi ktoś wyjaśnić skąd to się bierze?

Pierwsze równanie to chyba wiadomo.

Drugie równanie wynika stąd, że bok kwadratu opisanego na okręgu ma długość średnicy tego okręgu. Odległość szukanych wierzchołków od punktu styczności wynosi \(\displaystyle{ r=\sqrt{5}}\) (bo punkt styczności dzieli bok kwadratu na pół), zatem kwadrat tej odległości to \(\displaystyle{ 5}\).

Ok.Dzięki.

Szemek pisze: ↑10 maja 2008, o 22:52 \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2y-4=0 \\
x^2+(y-1)^2=5 \\
S(0,1) \quad r=\sqrt{5}}\)

Jeżeli w prostej 2x+y-6=0 zawiera się bok kwadratu opisanego na okręgu to ta prosta jest styczna do tego okręgu.
Rozwiązując układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-6=0 \\ x^{2}+y^{2}-2y-4=0 \end{cases}}\)
obliczymy współrzędne punktu styczności \(\displaystyle{ M(x_m,y_m)}\)

Rozwiązując układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-6=0 \\ (x-x_m)^2+(y-y_m)^2=5 \end{cases}}\)
obliczymy współrzędne dwóch wierzchołków.

Współrzędne pozostałych dwóch wierzchołków obliczymy z tego, że S - środek okręgu jest również środkiem obu przekątnych.

Nie wiem za bardzo jak wyznaczyć pozostałe wierzchołki korzystając z przekątnych

A zrobiłeś rysunek?

JK