Matematyka.pl

Wykaż, że wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{3}{ \sqrt{2} + \sqrt{3} } + \frac{3}{ \sqrt{3} + \sqrt{4} } + ... + \frac{3}{ \sqrt{127} + \sqrt{128} }}\) jest mniejsze od 30.

Za rozwiązanie wielkie dzięki, bo nie wiem jak do tego się zabrać.

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \frac{3}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{3}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=3 (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}\).

a dalej...
najlepiej \(\displaystyle{ 3}\) wyłączyć przed wszystko
\(\displaystyle{ 3 ft( \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + ... + \sqrt{128} - \sqrt{127} \right) = 3 ft( \sqrt{128} - \sqrt{2} \right) = \\ = 3 ( 8\sqrt{2} - \sqrt{2} ) = 21 \sqrt{2} 29,7}\)