Matematyka.pl

Ma ktoś jakieś sugestie jak policzyć tę całkę:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(1+x^2)^2}}\)

Można też skorzystać ze wzoru rekurencyjnego dla \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(1+x^2)^n}}\)

lub metoda Ostrogradskiego-Gaussa obniżenia stopnia wielomianu
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx=\frac{Ax+B}{1+x^2}+C\int \frac{1}{1+x^2}dx}\)
równanie trzeba zróżniczkować i porównać otrzymane wielomiany,
co daje:
\(\displaystyle{ 1/2\frac{x}{1+x^2}+1/2 \int\frac{1}{1+x^2}dx}\)
a dalej nie wymaga komentarza

1. Co za wzor rekurencyjny?
2. Nie rozumiem tej równości:

abrasax pisze: \(\displaystyle{ \int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx=\frac{Ax+B}{1+x^2}+C\int \frac{1}{1+x^2}dx}\)

Ta metoda jest opisana w "rachunku różniczkowym i całkowym Fichtenholza". Nie jest tak bardzo zrozumiała, ale w każdym razie bardzo efektowna

Wzór Ostrogradskiego:
\(\displaystyle{ \int \frac{ax+b}{(x^2+px+q)^k} dx = \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^{k-1}} + C \int \frac{1}{(x^2+px+q)^{k-1}} dx}\)

Świetnie, tego wzoru do tej pory jeszcze nie widziałem. Dzięki.

Prosze powiedz mi jeszcze w jaki sposób dobieramy współczynniki A,B,C.

> równanie trzeba zróżniczkować i porównać otrzymane wielomiany

[ Dodano: Czw Wrz 22, 2005 10:16 pm ]
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1+x^2)^2}=\frac{A(1+x^2)-(Ax+B)2x}{(1+x^2)^2}+\frac{C}{1+x^2}}\)
\(\displaystyle{ 1=A(1+x^2)-(Ax+B)2x+C(1+x^2)}\)
\(\displaystyle{ 1=x^2(C-A)+x(-2B)+(C+A)}\)
porównujemy współczynniki po lewej i prawej stronie:
0=C-A
0=-2B
1=C+A
z tego A=C=1/2

Wielkie dzięki

a podstawienie \(\displaystyle{ x= \sinh(t)}\) nie załatwia sprawy?

[edit] eee chyba nie...