Matematyka.pl

Rozwiąż w zależności od m:
\(\displaystyle{ 2x ^{3} - 3 x ^{2} - 12x - 5m =0}\)

Przekształćmy to równanie to postaci: \(\displaystyle{ 2 x^{3} -3 x^{2} -12x = 5m}\).
Lewą stronę równania potraktujmy jako funkcję f(x). Narysuj sobie od ręki wykres dowolnej funkcji trzeciego stopnia o dodatnim współczynniku a. Widać, że ("idąc wzdłuż osi y") poniżej wartości minimum lokalnego i powyżej wartości maksimum lokalnego funkcja ma tylko jedno rozwiązanie (jeden argument). Dla wartości w ekstremach funkcja ma dokładnie 2 rozwiązania (2 argumenty). Dla wartości pomiędzy wartościami obu eksremum funkcja ma dokładnie 3 rozwiązania (3 argumenty). Trochę zagmatwałam, ale mam nadzieję, że wiesz o co mi chodzi. (rysując kolejne poziome proste równoległe do osi x będą one przecinać wykres finkcji w różnej ilości miejsc)

Wyliczmy wartości tych ekstremów. W tym celu liczymy pierwszą pochodną:
\(\displaystyle{ f'(x) = 6 x^{2} -6x-12}\)
i przyrównujemy ją do 0. Możemu stwierdzić, że funkcja f(x) przyjmuje minimum lokalne dla x=2 i maksimum lokalne dla x=-1. A zatem wartością w minimum lokalnym jest -20 (bo f(2)=-20), a w maksimum 7 (bo f(-1)=7).

Ponieważ f(x)=5m, równanie \(\displaystyle{ 2 x^{3} -3 x^{2} -12x = 5m}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla 5m7, ma dokładnie 2 rozwiązania dla 5m=-20 lub 5m=7 i ma dokładnie 3 rozwiązania dla 5m>-20 i 5m ft( -\infty, -4\right) \cup ft(1 \frac{2}{5} , + \right)[/latex]
Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania dla m=-4 lub m=1,4
Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania dla \(\displaystyle{ m ft( -4,1 \frac{2}{5} \right)}\)