Matematyka.pl

Oto treść zadania:
wykaż że ||x|-|y||=0 i y>=0) wychodzi że |x-y|

Tw.: llxl-lyll\(\displaystyle{ \leq}\)lx+yl.

D-d:
Z nierówności lx-yl\(\displaystyle{ \leq}\)lxl+lyl mamy lxl=l(x+y)-yl\(\displaystyle{ \leq}\)lx+yl+lyl, więc lxl-lyl\(\displaystyle{ \leq}\)lx+yl. Podobnie,lxl-lyl\(\displaystyle{ \leq}\)lx+yl, czyli -lx+yl\(\displaystyle{ \leq}\)lxl-lyl. Stąd otrzymamy nasze twierdzenie. A jeśli zastąpiły -y zamiast y to otrzymamy właśnie llxl-lyll\(\displaystyle{ \leq}\)lx-yl