Matematyka.pl

Rozwinac dana funkcje w niepelny szereg Fouriera, zawierajacy same cosinusy lub same sinusy
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0,3 \ dla \ 0}\)

Mam nadzieję, że wiesz z jakich wzorów należy skorzystać. Jeżeli nie to są to wzory (17)-(19) .
Należy wykazać, że \(\displaystyle{ a_0}\) i ogólnie \(\displaystyle{ a_n}\) się zerują.
Pozostaje wyznaczyć współczynniki \(\displaystyle{ b_n}\):
\(\displaystyle{ b_n = 2 t\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{3}{10} \sin (2 \pi n x) \, - 2 t\limits_{\frac{1}{2}}^1 \frac{3}{10} \sin (2 \pi n x) \, =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{3}{10 \pi n} t\limits_0^{\frac{1}{2}} \sin (2 \pi n x) \, \mbox{d}(2 \pi n x) - \frac{3}{10 \pi n} t\limits_{\frac{1}{2}}^1 \sin (2 \pi n x) \, \mbox{d}(2 \pi n x) =}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{10 \pi n}(1 - \cos (n \pi )) - \frac{3}{10 \pi n}(\cos (n \pi ) - \cos (2n \pi))}\)
Podkładając za n kolejno n=1,2,3,4,5,6,7,... zauważamy, iż wyrażenie nie zeruje się gdy n jest liczbą nieparzystą.
Ostatecznie możemy zapisać, że:
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{6}{5 n \pi} \sin ft( (2n - 1) 2 \pi x \right).}\)