Matematyka.pl

Obliczyć, ile dzielników ma dana liczba pierścienia Z :

\(\displaystyle{ a) 52 + 156i

b) 600 - 200i}\)

bardzo prosze o pomoc. Gubie sie w momencie :
ad. a)

\(\displaystyle{ 52 + 156i = 52 (1+3i) = 2 * 2 * 13 (1+3i) = (1+i)^2 * (1-i)^2 * 13 * (1+3i) = ......??}\)

Z uwagi na to, że \(\displaystyle{ 1-i= -i (1+i)}\) oraz \(\displaystyle{ 13=(3-2i)(3+2i)}\), mamy:

\(\displaystyle{ 52 + 156i = -1 (1+i)^4 (3-2i) (3+2i) (1+3i)}\)

Wszystkie czynniki w tym rozkładzie są nierozkładalne, to znaczy są pierwsze w rzeczonym pierścieniu (z wyjątkiem \(\displaystyle{ -1}\), które jest odwracalne). Stąd ilość dzielników naszej wyjściowej liczby to:
\(\displaystyle{ 4 (1+4) (1+1) (1+1) (1+1) = 160}\)
Czwórka na początku to wybór elementu odwracalnego (\(\displaystyle{ 1,-1,i,-i}\)), a potem wybieramy z jakim wykładnikiem do naszego dzielnika mają wejść poszczególne czynniki pierwsze z rozkładu.

Q.