Matematyka.pl

W kwadracie ABCD o boku długości 2 środek boku AD oznaczono przez I, środek boku CD przez L. Połączono ze sobą punkty A z L, B z I oraz B z D. Dwa nowe punkty przecięcia oznaczono przez J i K. Jaka jest powierzchnia czworokąta IJKD?

Wiem, że odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{7}{15}}\), ale nie wiem, jak to policzyć. Proszę o pomoc.

Podejdźmy do tego analitycznie. Umieść trójkąt w początku układu wpółrzędnych, tak, aby punkt A znajdował się we współrzędnych (0,0). Prosta AK będzie miała wzór \(\displaystyle{ f(x)=2x}\), a prosta BD \(\displaystyle{ g(x)=-x+2}\). Prosta BI ma postać \(\displaystyle{ h(x)=- \frac{1}{2}x+1}\). Aby znaleźćpunkty J i K, znajdź punkty przecięcia się funkcj f(x), g(x), h(x). Liczysz pole trójkąta AKB,(tego większego), mi w nim wysokość wyszła \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), potem liczysz pole trójkąta AJI, (\(\displaystyle{ h= \frac{2}{5}}\)). Pole trójkątów odejmujesz, i wychodzi wynik z odpowiedzi

No tak, jak w układ współrzędnych to już się da, dzięki:)

Jak to zwykle bywa oprócz analitycznego rozwiązanie istnieje jeszcze inne. Ja np. wykombinowałem z podobieństwem trójkątów między innymi coś takiego:
Oznaczmy najpierw L' - środek boku AB, połączmy punkty L i L', a środek otrzymanego odcinka oznaczmy O.
Łatwo zauważyć, że trójkąty DKL oraz ABK są podobne (kkk), a skala ich podobieństwa wynosi 1:2.
Niech
\(\displaystyle{ P_{DKL}=x\\
P_{ABK}=4x\\
P_{DAL}-P{DLK}=P_{ABD}-P_{ABK} \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}}\)
Zatem \(\displaystyle{ P_{DKL}=\frac{1}{3}\\
P_{AL'OK}=\frac{5}{6}}\)
Podobne są również trójkąty AIJ oraz JML, gdzie M - punkt dzielący na połowy odcinek OL'; skala ich podobieństwa: 3:2.
Mamy zatem, że \(\displaystyle{ P_{JML}=A\\
P_{IJA}=\frac{4}{9}A}\)
Łatwo widać teraz, że \(\displaystyle{ P_{IJKD}+P_{JMOK}+P_{OMB}=1 \Leftrightarrow 1=1-\frac{1}{3}-\frac{4}{9}A+(A-\frac{1}{6})+\frac{1}{4} \Leftrightarrow A=\frac{9}{20}}\)

\(\displaystyle{ P_{IJKD}=1-\frac{1}{3}-\frac{4}{9}A=\frac{7}{15}}\)