Matematyka.pl

W prawidłowym graniastosłupie trójkątnym, pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól obu podstaw. Oblicz cosinus kąta alfa nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.

A to zadanie znam

Najpierw zależność:

\(\displaystyle{ 2 \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}=3ah\\
h= \frac{a \sqrt{3} }{6}}\)

Teraz tak: przekątna ściany bocznej to jest \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+h^2}}\)
A to, na co pada przekątna to przekątna połowy drugiego boku, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{ ( \frac{a}{2})^2 +h^2 }}\)
I mamy trójkąt którego podstawą jest \(\displaystyle{ h_a= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)

Teraz wystarczy wyrazić to wszystko przy pomocy jednej zmiennej (a lub h) i zastosować twierdzenie cosinusów:
\(\displaystyle{ (\frac{a \sqrt{3} }{2})^2=(\sqrt{a^2+h^2})^2+(\sqrt{ (\frac{a}{2})^2 +h^2 })^2- 2(\sqrt{( \frac{a}{2})^2 +h^2 }} )(\sqrt{a^2+h^2})*cos\alpha}\)

Podstaw za a h lub odwrotnie z pierwszej zależności, potem \(\displaystyle{ cos\alpha}\) jako niewiadoma i h/a się skrócą

założenie dobre, ale czy napewno nie pomyliłeś się w równaniu i obliczyleś poprawnego cosinusa??

To znaczy w którym momencie masz wątpliwości ?
Co do samego kąta bo fakt jest trochę nietypowy to zrób sobie rysunek albo poszukaj w jakiejś książce. A zadanie miałem na jednej z próbnych matur jakieś dwa tygodnie temu.

cosinus którego wyliczyłeś jest mędzy tą przekontna ściany pocznej i wysokością podstawy, nie trzeba czasami obliczyć cosinusa między przekatną ściany bocznej a tym przekątna połowy drugiego boku??

Cosinus jest tego kąta co trzeba (sprawdź sobie twierdzenie cosinusów). Generalnie to podałem tylko sposób a i tak zadanie trzeba rozwiązywać z dobrze wykonanym rysunkiem i odpowiednio zaznaczonymi odległościami. Kąt szukany to ten na górze oczywiście. A no i żeby się nie mieszało no to oczywiście podstaw od razu tak żeby operować na jednej zmiennej.

pozdr.

7/13 wyjdzie chyba.