Matematyka.pl

Dane jest równanie \(\displaystyle{ (m-1) x^{2}+m \sqrt{7}x+ m^{2}+m+1=0}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\). Sporządź wykres funkcji \(\displaystyle{ m \rightarrow f(m)}\), gdzie \(\displaystyle{ f(m)}\) oznacza liczbę pierwiastków danego równania.

Moje rozwiązanie:
Żeby to było równanie kwadratowe \(\displaystyle{ a \neq 0}\) czyli \(\displaystyle{ m \neq 1}\). Ilość pierwiastków będzie zależna od \(\displaystyle{ \Delta}\).
\(\displaystyle{ \Delta=7m^{2}-4(m-1)(m^{2}+m+1)=-4m^{3}+7m^{2}+4}\)

Teraz aby obliczyć liczbę pierwiastków sprawdzam kiedy \(\displaystyle{ \Delta>0,=0}\) i \(\displaystyle{ }\)

\(\displaystyle{ -4m^{3}+7m^{2}+4=-4m^{3}+8m^{2}-m^{2}+2m-2m+4=-4m^{3}(m-2)-m(m-2)-2(m-2)=(m-2)(-4m^{2}-m-2)}\)

pamiętaj, że dla m=1 też musisz sprawdzić ile bedzie rozwiązań

\(\displaystyle{ -4m^{3}+7m^{2}+4}\)
\(\displaystyle{ -4m^3+8m^2-m^2+4=-4m^2(m-2)-(m-2)(m+2)=\\(m-2)(-4m^2-m-2)}\)

Dzięki za pomoc.

Witam,
Rozwiązuje to samo zadanie i mam z nim mały problem.
Doszedłem do tego że dla m=1 mamy 1 rozwiązanie, a dla m = 2 nie ma rozwiązania. W odpowiedzi są troszkę inne wyniki do których nie potrafię w żaden sposób dojść. Jak ktoś by był taki dobry, to proszę o oświecenie co robię nie tak

koziolek31 pisze: Doszedłem do tego że dla m=1 mamy 1 rozwiązanie, a dla m = 2 nie ma rozwiązania. W odpowiedzi są troszkę inne wyniki do których nie potrafię w żaden sposób dojść. Jak ktoś by był taki dobry, to proszę o oświecenie co robię nie tak

Z Twojego opisu nie możemy się dowiedzieć ,,co robisz nie tak".

Wyżej masz podpowiedzi do zadania; napisz jak je stosujesz wtedy ktoś wskaże Ci błędy.

Rozpoczynając od początku
\(\displaystyle{ (m-1) x^{2}+m \sqrt{7}x+ m^{2}+m+1=0}\)
Sprawdzam warunek co się dzieje z równaniem dla a=0 czyli m=1
Dla m=1 dostaje:
\(\displaystyle{ 3/ \sqrt{4}}\)
Czyli dla m=1 - jedno rozwiązanie.
Teraz liczę deltę:
\(\displaystyle{ \Delta=-4m^{3}+7m^{2}+4=0}\)
Doprowadzam do postaci:
\(\displaystyle{ (m-2)(-4m^{2}-m-2)=0}\)
Druga cześć równania \(\displaystyle{ (-4m^{2}-m-2)=0}\) nie zawiera pierwiastków więc ją pomijam. Zostaje tylko m=2;
Sprawdzam co wychodzi dla m=2; Po podstawieniu i obliczeniu mam:
\(\displaystyle{ 0=0}\)
Czyli dla 2 też jedno rozwiązanie (?)
Teraz podsumowując jeśli m=1 lub m=2 mamy 1 rozwiązanie.
W książce podają jeszcze kiedy jest 0 rozwiązań i 2 rozwiązania (ale jak dla mnie ta delta \(\displaystyle{ (-4m^{2}-m-2)=0}\) jest nierozwijalna i nie wiem za bardzo skąd oni te wyniki wzięli.