Matematyka.pl

Wykaz ze z n kata foremnego mozna wykroic -wybierajac jego trzy rózne wierzchołki tyle samo istotnie róznych -tj wzajemnie niepodobnych - trójkatów, ile liczba n ma rozkladów na sume trzech naturalnych skladników, - przy czym kolejnosc pomijamy,

Lemat: Dwa trójkąty "wykrojone" z n-kąta foremnego są podobne \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) są przystające.

Mój dowód opiera się na tym, że na każdym n-kącie foremnym można opisać okrąg i każdy taki "wykrojony" trójkąt jest również wpisany w ten okrąg, ponieważ trójkąty są podobne, to z twierdzenia sinusów: \(\displaystyle{ a=\sin 2R}\) otrzymujemy, że odpowiednie boki tych podobnych trójkątów są równe - co kończy dowód lematu.


Przejdźmy do zadania. Umieśćmy w każdym wierzchołku n-kąta foremnego liczbę 1. Wykrojony zgodnie ze wskazówkami zegara trójkąt ABC będę nazywał trójkątem a-b-c, gdy po drodze znajdującej się (zgodnie ze wskazówkami zegara) na obwodzie trójkąta pomiędzy A i B znajduje się a-1 wierzchołków (nie liczymy A i B), po drodze znajdującej się (zgodnie ze wskazówkami zegara) na obwodzie trójkąta pomiędzy B i C znajduje się b-1 wierzchołków (nie liczymy B i C), a po drodze znajdującej się (zgodnie ze wskazówkami zegara) na obwodzie trójkąta pomiędzy C i A znajduje się c-1 wierzchołków (nie liczymy C i A).

Na rysunku podaję przykład: trójkąt ABC wykrojony z 8-kąta foremnego jest trójkątem 2-1-5:



Pozostaje zauważyć kilka dość intuicyjnych faktów:
* wybór wierzchołka "startowego" nie ma znaczenia
* trójkąty a-b-c, a-c-b, b-a-c, b-c-a, c-a-b, c-b-a są przystające, zatem dla ustalenia uwagi możemy przyjąć: \(\displaystyle{ a \leqslant b \leqslant c}\)
* oczywiście \(\displaystyle{ a+b+c=n}\)

Zatem każdy trójkąt a-b-c, przy czym \(\displaystyle{ a \leqslant b \leqslant c}\) oraz nie uwzględniamy trójkątów d-e-f takich, że {a,b,c}={d,e,f} odpowiada rozkładowi liczby n na sumę trzech składników a+b+c, przy czym kolejność składników jest pominięta.

Z drugiej strony gdy n=a+b+c, gdzie a+b+c (\(\displaystyle{ a \leqslant b \leqslant c}\)) jest niepowtarzalnym rozkładem n na sumę trzech czynników, to istnieje trójkąt a-b-c taki, że możemy go "wyciąć" z n-kąta foremnego, przy czym pomijamy wszystkie trójkąty przystające do trójkąta a-b-c.

Prosta konkluzja, że teza jest prawdziwa