Matematyka.pl

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym poprowadzono płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) wyznaczoną przez wysokość dolnej podstawy i ten z wierzchołków górnej podstawy, że płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) z płaszczyzną podstawy graniastosłupa tworzy kąt o mierze \(\displaystyle{ \alpha 90 ^{o}}\). Pole przekroju graniastosłupa wyznaczonego przez płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\)jest równe S. Oblicz objętość graniastosłupa.

Jakoś plączę się w tym zadaniu, mimo że wydaje się być proste.

h - wysokość podstawy: hs = wysokość przekroju; H - wysokość graniastosłupa; a - bok podstawy.

\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2} \, h \, h_{s}}\)

\(\displaystyle{ h = \frac{a \, \sqrt{3}}{2} \,\,\}\) ; --> \(\displaystyle{ a = \frac{2 \, h}{\sqrt{3}} \,\,\}\) ; oraz \(\displaystyle{ H = h_{s} \, sin(\alpha)}\);

\(\displaystyle{ V = ....}\)

dalej to nic nie daje ?

Faktycznie zostaje jedno h, które trzeba wyrazić przez S i kąt.
Może to nie jest najprostsze rozwiązanie, ale na szybkiego nic lepszego nie przychodzi mi do głowy.
Przekrój o polu S jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej c, która jest jednocześnie przekątną ściany bocznej.
Mamy: \(\displaystyle{ h^{2} + h_{s}^{2} = a^{2} + H^{2} \,\}\).
Z tego wyznaczamy h. Po podstawieniu i przekształceniach mamy: \(\displaystyle{ h = \sqrt{3} \,\ h_{s} \,\ cos(\alpha) \,\}\) --> \(\displaystyle{ h_{s} = \frac{h}{\sqrt{3} \,\ cos(\alpha)}}\)

Ze wzoru na pole przekroju wyznaczamy hs i podstawiamy: \(\displaystyle{ \frac{2S}{h} = \frac{h}{\sqrt{3} \,\ cos(\alpha)} \,\}\) --> wyznaczamy h i do wzoru