Matematyka.pl

Przez końce A i B średnicy koła poprowadzono 2 cięciwy ACi BC, które przecinają się w punkcie P, leżącym wewnątrz koła. Wykaż, że \(\displaystyle{ AB^{2}=AC AP+BD BP}\)

W zadaniu chodziło na pewno o cieciwę BD, a nie BC.
Najpierw przekształcasz \(\displaystyle{ AC\cdot AP=AP^{2}+AP\cdot PC \ \ BD\cdot BP=BP\cdot^{2}+BP\cdot PD}\) Z twierdzenia o cięciwach w kole \(\displaystyle{ PD\cdot BP=AP\cdot PC}\). Oznaczmy kat APC jako kat \(\displaystyle{ \alpha}\). Z twierdzenia cosinusów \(\displaystyle{ AP^{2}+BP^{2}-2AP\cdotBPcos\alpha=AB^{2}}\) Teraz wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ -2AP\cdotBPcos\alpha=AP\cdot PC=BP\cdot PD}\). Z twierdzenia o cięciwach i po skróceniu tego czegoś pozostaje nam udowodnić, że \(\displaystyle{ -cos\alphaBP=PC}\) \(\displaystyle{ \angle BCP=90 \ \ \angleCPB=180-\alpha}\)\(\displaystyle{ cos\alpha=-cos(180-\alpha)}\). Teraz stwierdzamy, że \(\displaystyle{ cos(180-\alpha)=\frac{PC}{BP}}\), a z tego już bezpośrednio wynika teza. Oczywiscie wszystkie długosci odcinków powinny być w modułach, ale za dużo z tym zachodu i cały dowód został przedstawiony od końca, ale myślę, że rozumiesz o co chodzi :].