Matematyka.pl

Wykaż, że jeżeli w czworokącie przekątne dzielą sie na połowy, to wielokąt ten jest równoległobokiem.


Dzięki za pomoc

wasik12 pisze:Wykaż, że jeżeli w czworokącie przekątne dzielą sie na połowy, to wielokąt ten jest równoległobokiem.
Dzięki za pomoc

Kąty ASB i CSD są wierzchołkowe, a więc są równe. Stąd, z danych zadania i cechy bkb przystawania trójkątów trójkąty ABS i DSC są przystające. Dalej kąt ABD = kątowi CDA. Na podstawie tw. odwrotnego do tw. o dwóch prostych przeciętych trzecią AB||CD. W ten sam sposób dowodzi się, że BC||DA.

Nie jestem pewna, ale może przynajmniej naprowadzę Cię na rozwiązanie. Zauważ, że trójkąty utworzone przez przeciwległe boki i przekątne są przystające. Wynika to z cechy bkb. Kąty leżące po przeciwległych stronach przekątnej mają takie same miary. Przecinajce przekątną 2 proste są rónolgłe, a te kąty są kątami naprzemianległymi. Dowód dla drugej pary boków jest analogiczny.