Matematyka.pl

Ile jest rozwiazan w liczbach calkowitych dodatnich roznych od 3 rownania \(\displaystyle{ x_1 +x_2+....+x_k = n}\) dla \(\displaystyle{ n > 2k}\)

Pozwolę sobie uogólnić zadanie i przeformułować je następująco:

Ile jest rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich różnych od \(\displaystyle{ p}\) równania \(\displaystyle{ x_1+\ldots+x_k=n}\)

Odpowiedź:

\(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}+\sum_{i=1}^{min\left(\left[\frac{n-k}{p-1}\right],k-1\right)}(-1)^i{k \choose i}{n-pi-1 \choose k-i-1}+(-1)^k\chi_{\{n \mathbb{Z}_{+}: n=pk\}}}\)

Wyjaśnienie:
Od wszystkich rozwiązań odejmuję te, które zawierają co najmniej jedno \(\displaystyle{ p}\). Górna granica sumowania, podobnie jak funkcja charakterystyczna są po to, aby zapisać przypadki, gdy: \(\displaystyle{ npk}\), \(\displaystyle{ n=pk}\) jednym wzorem. Oczywiście, gdy \(\displaystyle{ n}\)