Matematyka.pl

W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C obrano punkt P tak, że trójkąty PAB, PBC i PAC mają równe pola. Oblicz odległość punkty P od wierzchołka C, jeśli wadomo, że |PA|^2 + |PB|^2 = m

Niech:
-w trójkącie PBC podstawą bedzie \(\displaystyle{ a}\), wysokością \(\displaystyle{ h_1}\)
-w trójkącie PAC podstawą bedzie \(\displaystyle{ b}\), wysokością \(\displaystyle{ h_2}\)
-w trójkącie PAB podstawą bedzie \(\displaystyle{ c}\), wysokością \(\displaystyle{ h_3}\)

S - pole wyjściowego trójkąta

\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}ab}\)

Skoro pola powstałych trójkątów są rowne zachodzą równości:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah_1=\frac{1}{2}bh_2=\frac{1}{2}ch_3= \frac{\frac{1}{2}ab}{3}}\)

*) Możemy z tego wyliczyć, że:

\(\displaystyle{ a=3h_2}\)
\(\displaystyle{ b=3h_1}\)

**) Z warunków zadania można wywnioskować, że \(\displaystyle{ h_1 \parallel b}\) i \(\displaystyle{ h_2 \parallel a}\),możemy zastosować tw. pitagorasa do powstałych trójkątów prostokątnych:

\(\displaystyle{ h_1^2+h_2^2=|PC|^2}\)

\(\displaystyle{ h_2^2+(b-h_1)^2=|PA|^2}\)

\(\displaystyle{ h_1^2+a-(h_2)^2=|PB|^2}\)

***) Kiedy dodamy dwa ostatnie równania, otrzymamy:

\(\displaystyle{ |PA|^2+|PB|^2=h_2^2+(b-h_1)^2+h_1^2+a-(h_2)^2=}\)

\(\displaystyle{ =2h_2^2+2h_1^2+a^2+b^2-2(bh_1+ah_2)}\)

Na mocy *) i **) i ***):

\(\displaystyle{ m=2|PC|^2+9(h_2^2+h_1^2)-2(h_1^2+h_2^2)=2|PC|^2+9|PC|^2-2|PC|^2=9|PC|^2}\)

\(\displaystyle{ |PC|= \frac{ \sqrt{m} }{3}}\)

Pozdrawiam